Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2026

QUINTO EJERCICIO (2 puntos). Responde solo a una de las opciones.
(5A) Un montículo de hormigón tiene forma parabólica con una altura de 12 m y una base de 6 m, como se ve en la figura. Se quiere colocar una escalera apoyada en el montículo y de forma que su extremo superior quede 3 m por encima de la cúspide del montículo. ¿A qué distancia de la base del montículo debe colocarse el extremo inferior de la escalera?

Situamos el origen de coordenadas en el centro de la base del montículo, con el eje de abscisas sobre el suelo. Con este sistema de referencia la base ocupa el intervalo $[-3,3]$ y la cúspide es el punto $(0,12)$.

Empezamos por hallar la ecuación de la parábola. Al tener el vértice sobre el eje de ordenadas, es de la forma $y=12+kx^2$, y basta imponer que pase por el extremo derecho de la base:

$0=12+k\cdot3^2\Rightarrow 9k=-12\Rightarrow k=-\dfrac43$

$y=12-\dfrac43x^2$

La escalera es recta y se apoya en el montículo, es decir, lo toca en un único punto sin atravesarlo: la escalera está contenida en una recta tangente a la parábola. Además, su extremo superior queda 3 m por encima de la cúspide, esto es, en el punto $(0,15)$, que no es otra cosa que la ordenada en el origen de esa recta tangente. Con esas dos condiciones queda determinada la recta, y de ella se obtiene el pie de la escalera.

i) Escribimos la recta tangente a la parábola en un punto genérico $\left(a,\,12-\dfrac43a^2\right)$, con $a>0$ por apoyarse la escalera en la ladera derecha:

$y'=-\dfrac83x\Rightarrow m=y'(a)=-\dfrac83a$

$y-\left(12-\dfrac43a^2\right)=-\dfrac83a\,(x-a)$

$y=12-\dfrac43a^2-\dfrac83ax+\dfrac83a^2=12+\dfrac43a^2-\dfrac83ax$

ii) Imponemos que la ordenada en el origen valga 15, que es la altura del extremo superior de la escalera:

$12+\dfrac43a^2=15\Rightarrow \dfrac43a^2=3\Rightarrow a^2=\dfrac94$

$a=\dfrac32$

Se descarta la solución $a=-\dfrac32$ porque corresponde a apoyar la escalera en la ladera izquierda, que no es la situación de la figura.

iii) Con ese valor, la recta que contiene a la escalera y su corte con el suelo son:

$y=15-\dfrac83\cdot\dfrac32\,x=15-4x$

$y=0\Rightarrow 15-4x=0\Rightarrow x=\dfrac{15}{4}=3{,}75\ \text{m}$

Esa abscisa está medida desde el centro de la base. Como la base del montículo llega hasta $x=3$, la distancia pedida es:

$d=\dfrac{15}{4}-3=\dfrac34=0{,}75\ \text{m}$

El extremo inferior de la escalera debe colocarse a $0{,}75$ m del borde de la base del montículo, es decir, a $3{,}75$ m de su centro. La escalera se apoya sobre el montículo en el punto $T\left(\dfrac32,9\right)$.