Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

CUARTO EJERCICIO (2 puntos). Responde solo a una de las opciones.
(4B) Sean los puntos $A=(1,1,2)$ y $B=(-1,0,3)$.

(a) (1,5 puntos) Encuentra la ecuación del plano $\pi$ que cumple que $A$ y $B$ son simétricos con respecto a $\pi$.
(b) (0,5 puntos) ¿Cuál es la distancia de $A$ a $\pi$?

$\textbf{(a) (1,5 puntos) Encuentra la ecuación del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ que cumple que } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ son simétricos con respecto a } \boldsymbol{\pi}\textbf{.}$

Que dos puntos sean simétricos respecto de un plano significa que el plano es el plano mediador del segmento que los une: lo corta en su punto medio y es perpendicular a él. Esas dos condiciones dan, respectivamente, el vector normal y un punto del plano, así que se procede en dos fases.

i) El plano es perpendicular al segmento $\overline{AB}$, luego el vector que une los dos puntos sirve de vector normal:

$\vec n_\pi=\overrightarrow{AB}=B-A=(-1,0,3)-(1,1,2)=(-2,-1,1)$

ii) El plano pasa por el punto medio del segmento:

$M=\dfrac{A+B}{2}=\left(\dfrac{1+(-1)}{2},\dfrac{1+0}{2},\dfrac{2+3}{2}\right)=\left(0,\dfrac12,\dfrac52\right)$

Con un punto y el vector normal se escribe la ecuación del plano:

$\pi:-2(x-0)-1\left(y-\dfrac12\right)+1\left(z-\dfrac52\right)=0$

$-2x-y+\dfrac12+z-\dfrac52=0\Rightarrow -2x-y+z-2=0$

Cambiando de signo para dejar positivo el primer coeficiente:

$\pi\equiv 2x+y-z+2=0$

Comprobamos sustituyendo los dos puntos en el primer miembro:

$A(1,1,2):\ 2\cdot1+1-2+2=3;\qquad B(-1,0,3):\ 2\cdot(-1)+0-3+2=-3$

Los valores son opuestos, lo que confirma que $A$ y $B$ quedan a distinto lado del plano y a la misma distancia de él.

El plano pedido es $\pi\equiv 2x+y-z+2=0$.



$\textbf{(b) (0,5 puntos) ¿Cuál es la distancia de } \boldsymbol{A}\textbf{ a } \boldsymbol{\pi}\textbf{?}$

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano con el plano obtenido en el apartado anterior.

$d(A,\pi)=\dfrac{|2\cdot1+1-2+2|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}}=\dfrac{3}{\sqrt6}$

$=\dfrac{3\sqrt6}{6}=\dfrac{\sqrt6}{2}\approx1{,}22\ \text{u}$

El resultado se puede comprobar sin usar la ecuación del plano: al ser $A$ y $B$ simétricos, el plano corta al segmento por su mitad, de modo que la distancia buscada es la mitad de la longitud de $\overline{AB}$.

$\dfrac{|\overrightarrow{AB}|}{2}=\dfrac{\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+1^2}}{2}=\dfrac{\sqrt6}{2}$

La distancia del punto $A$ al plano $\pi$ es $\dfrac{\sqrt6}{2}$ unidades.