Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

CUARTO EJERCICIO (2 puntos). Responde solo a una de las opciones.
(4A) Sean la recta $r\equiv x=y-1=-z$, y el plano $\pi\equiv -x+2y+z+A=0$.

(a) (1,5 puntos) Discute la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi$ en función de los valores del parámetro $A$.
(b) (0,5 puntos) Calcula la distancia de la recta $r$ al plano $\pi$ en función de los valores del parámetro $A$.

$\textbf{(a) (1,5 puntos) Discute la posición relativa de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ en función de los valores del parámetro } \boldsymbol{A}\textbf{.}$

La recta viene dada en forma continua mediante una cadena de igualdades. Igualando esa cadena a un parámetro obtenemos sus ecuaciones paramétricas y, de ellas, un punto y un vector director.

$r\equiv x=y-1=-z=\lambda\Rightarrow r:\begin{cases}x=\lambda\\y=1+\lambda\\z=-\lambda\end{cases},\ \lambda\in\mathbb{R}$

$P(0,1,0)\in r,\qquad \vec v_r=(1,1,-1)$

$\pi\equiv -x+2y+z+A=0\Rightarrow \vec n_\pi=(-1,2,1)$

La posición relativa se decide comparando el vector director de la recta con el vector normal del plano. Calculamos su producto escalar:

$\vec v_r\cdot\vec n_\pi=1\cdot(-1)+1\cdot2+(-1)\cdot1=-1+2-1=0$

Al ser nulo, el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano, es decir, la recta lleva la dirección del plano y no puede cortarlo, cualquiera que sea el valor de $A$. Solo queda distinguir si la recta está contenida en el plano o es exterior a él, y para ello se comprueba si alguno de sus puntos verifica la ecuación del plano.

$P(0,1,0)\in\pi\ \Leftrightarrow\ -0+2\cdot1+0+A=0\ \Leftrightarrow\ A+2=0$

$A=-2$

Distinguimos entonces los dos casos:

i) Si $A=-2$, el punto $P$ pertenece al plano y, como además la recta es paralela a él, la recta está contenida en el plano: $r\subset\pi$.

ii) Si $A\neq-2$, el punto $P$ no pertenece al plano, de modo que la recta y el plano son paralelos y no tienen ningún punto en común.

La recta y el plano nunca se cortan: están contenidos uno en otro si $A=-2$ y son paralelos disjuntos en cualquier otro caso.



$\textbf{(b) (0,5 puntos) Calcula la distancia de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ en función de los valores del parámetro } \boldsymbol{A}\textbf{.}$

Al ser la recta paralela al plano, todos sus puntos equidistan de él, así que la distancia entre ambos coincide con la distancia de cualquier punto de la recta al plano. Tomamos el punto $P(0,1,0)$ ya calculado.

Si el plano es $\pi\equiv ax+by+cz+d=0$, la distancia de un punto $P(x_0,y_0,z_0)$ a él vale:

$d(P,\pi)=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

En nuestro caso $(a,b,c)=(-1,2,1)$ y $d=A$, de modo que:

$d(r,\pi)=d(P,\pi)=\dfrac{|-0+2\cdot1+0+A|}{\sqrt{(-1)^2+2^2+1^2}}=\dfrac{|A+2|}{\sqrt6}$

Racionalizando el denominador:

$d(r,\pi)=\dfrac{\sqrt6\,|A+2|}{6}\ \text{u}$

La distancia de la recta al plano es $\dfrac{|A+2|}{\sqrt6}$ unidades, expresión coherente con el apartado anterior: se anula exactamente cuando $A=-2$, que es el caso en que la recta está contenida en el plano.