Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

QUINTO EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos apartados.
(5B) Se consideran la parábola de ecuación $y=x^2-3x$ y la recta de ecuación $x+y=8$.

(a) (1,25 puntos) Dibuja el recinto limitado por esas dos curvas.
(b) (1,25 puntos) Calcula el área del trozo de ese recinto que queda en el primer cuadrante.

$\textbf{(a) (1,25 puntos) Dibuja el recinto limitado por esas dos curvas.}$

La primera curva es una parábola con las ramas hacia arriba, y la segunda una recta. Localizamos sus elementos y sus puntos de corte.

$y=x^2-3x=x(x-3)\Rightarrow\text{corta al eje }OX\text{ en }x=0\text{ y }x=3$

$x_V=\dfrac{3}{2}\Rightarrow V\left(\dfrac32,-\dfrac94\right)$

La recta se escribe en forma explícita despejando:

$x+y=8\Rightarrow y=8-x$

Igualamos ambas ecuaciones para hallar los cortes entre las dos curvas:

$x^2-3x=8-x\Rightarrow x^2-2x-8=0$

$(x-4)(x+2)=0\Rightarrow\begin{cases}x=-2\\x=4\end{cases}$

$x=-2\Rightarrow y=10;\qquad x=4\Rightarrow y=4$

Se cortan, por tanto, en $(-2,10)$ y en $(4,4)$. Evaluando en un punto intermedio se comprueba cuál va por encima:

$\text{Si }x=0:\quad 8-0=8\ >\ 0^2-3\cdot0=0$

El recinto está limitado por arriba por la recta $y=8-x$ y por abajo por la parábola $y=x^2-3x$, entre las abscisas $x=-2$ y $x=4$.



$\textbf{(b) (1,25 puntos) Calcula el área del trozo de ese recinto que queda en el primer cuadrante.}$

El primer cuadrante impone $x\geq0$ e $y\geq0$, así que el trozo pedido no es todo el recinto: hay que recortarlo por el eje de ordenadas y por el de abscisas.

La parábola es negativa entre $x=0$ y $x=3$, de modo que en ese tramo el borde inferior del trozo no es la parábola, sino el propio eje $OX$. A partir de $x=3$ la parábola ya es positiva y vuelve a hacer de borde inferior. El área se calcula, pues, en dos trozos.

$\mathcal{A}=\int_0^3(8-x)\,dx+\int_3^4\left[(8-x)-\left(x^2-3x\right)\right]dx$

Calculamos la primera integral:

$\int_0^3(8-x)\,dx=\left[8x-\dfrac{x^2}{2}\right]_0^3=24-\dfrac92=\dfrac{39}{2}$

Simplificamos el integrando de la segunda:

$(8-x)-\left(x^2-3x\right)=8+2x-x^2$

$\int_3^4\left(8+2x-x^2\right)dx=\left[8x+x^2-\dfrac{x^3}{3}\right]_3^4$

$=\left(32+16-\dfrac{64}{3}\right)-\left(24+9-9\right)=\dfrac{80}{3}-24=\dfrac{8}{3}$

Sumando los dos trozos:

$\mathcal{A}=\dfrac{39}{2}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{117+16}{6}=\dfrac{133}{6}$

El área del trozo del recinto que queda en el primer cuadrante es de $\dfrac{133}{6}$ unidades de área.