Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

QUINTO EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos apartados.
(5A) Calcula las dos integrales siguientes:

(a) (1,25 puntos) $\int (2x+5)e^{2x}\,dx.$
(b) (1,25 puntos) $\int \dfrac{x+7}{x^2+10x+25}\,dx.$

$\textbf{(a) (1,25 puntos) Calcula } \boldsymbol{\int (2x+5)e^{2x}\,dx}\textbf{.}$

El integrando es el producto de un polinomio por una exponencial, de modo que se resuelve por partes tomando como $u$ el polinomio, que al derivarse desaparece.

$\begin{cases}u=2x+5\Rightarrow du=2\,dx\\ dv=e^{2x}\,dx\Rightarrow v=\dfrac12 e^{2x}\end{cases}$

$\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$

$\int(2x+5)e^{2x}\,dx=(2x+5)\dfrac{e^{2x}}{2}-\int\dfrac{e^{2x}}{2}\cdot2\,dx$

$=\dfrac{(2x+5)e^{2x}}{2}-\int e^{2x}\,dx=\dfrac{(2x+5)e^{2x}}{2}-\dfrac{e^{2x}}{2}+C$

Sacando factor común:

$=\dfrac{e^{2x}}{2}\left(2x+5-1\right)=\dfrac{e^{2x}(2x+4)}{2}=(x+2)e^{2x}+C$

$\textbf{(b) (1,25 puntos) Calcula } \boldsymbol{\int \dfrac{x+7}{x^2+10x+25}\,dx}\textbf{.}$

El denominador es un cuadrado perfecto, lo que simplifica mucho la integral:

$x^2+10x+25=(x+5)^2$

Hacemos el cambio de variable $u=x+5$, con lo que $x+7=u+2$ y $du=dx$:

$\int\dfrac{x+7}{(x+5)^2}\,dx=\int\dfrac{u+2}{u^2}\,du=\int\left(\dfrac{1}{u}+\dfrac{2}{u^2}\right)du$

Las dos integrales que quedan son inmediatas:

$=\ln|u|-\dfrac{2}{u}+C$

Deshaciendo el cambio:

$\int\dfrac{x+7}{x^2+10x+25}\,dx=\ln|x+5|-\dfrac{2}{x+5}+C$