Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2025

CUARTO EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos apartados.
(4B) Nos han pedido que hagamos un estudio para la fabricación de tazas cilíndricas. Como condición han impuesto que deben tener una capacidad de $216\pi$ $\text{cm}^3$. La empresa quiere que la fabricación sea lo más económica posible.

(a) (1,5 puntos) Calcula las especificaciones de medidas que deben enviar a fabricación para lograr el objetivo.
(b) (1 punto) Las tazas irán coloreadas por el exterior con un material cuyo coste es de 3 $\text{€}/\text{m}^2$. Calcula el coste de imprimación de una taza.

$\textbf{(a) (1,5 puntos) Calcula las especificaciones de medidas que deben enviar a fabricación para lograr el objetivo.}$

Llamamos $r$ al radio de la base de la taza y $h$ a su altura, en centímetros. Fabricar lo más económico posible significa gastar el mínimo material, es decir, minimizar la superficie. La taza no lleva tapa, así que su superficie es la de la base más la lateral.

$S=\pi r^2+2\pi r h$

La capacidad es un dato fijo, y esa condición permite dejar la superficie en función de una sola variable.

$V=\pi r^2h=216\pi\Rightarrow r^2h=216\Rightarrow h=\dfrac{216}{r^2}$

$S(r)=\pi r^2+2\pi r\cdot\dfrac{216}{r^2}=\pi r^2+\dfrac{432\pi}{r},\qquad r>0$

Derivamos e igualamos a cero:

$S'(r)=2\pi r-\dfrac{432\pi}{r^2}$

$S'(r)=0\Rightarrow 2\pi r=\dfrac{432\pi}{r^2}\Rightarrow 2r^3=432\Rightarrow r^3=216$

$r=\sqrt[3]{216}=6\ \text{cm}$

Comprobamos con la segunda derivada que el punto crítico es un mínimo:

$S''(r)=2\pi+\dfrac{864\pi}{r^3}\Rightarrow S''(6)=2\pi+\dfrac{864\pi}{216}=6\pi>0$

Calculamos la altura correspondiente:

$h=\dfrac{216}{6^2}=\dfrac{216}{36}=6\ \text{cm}$

Las especificaciones que deben enviar a fabricación son un radio de $6$ cm y una altura de $6$ cm, es decir, un diámetro de $12$ cm.



$\textbf{(b) (1 punto) Las tazas irán coloreadas por el exterior con un material cuyo coste es de } \boldsymbol{3}\textbf{ €/m}\boldsymbol{^2}\textbf{. Calcula el coste de imprimación de una taza.}$

Evaluamos la superficie en las medidas óptimas:

$S(6)=\pi\cdot6^2+\dfrac{432\pi}{6}=36\pi+72\pi=108\pi\ \text{cm}^2$

$108\pi=339{,}29\ \text{cm}^2$

El precio viene dado en euros por metro cuadrado, así que hay que cambiar de unidad antes de multiplicar. Como $1\ \text{m}^2=10\,000\ \text{cm}^2$:

$339{,}29\ \text{cm}^2=\dfrac{339{,}29}{10\,000}=0{,}0339\ \text{m}^2$

$\text{Coste}=3\cdot0{,}0339=0{,}1018\ \text{€}$

El coste de imprimación de una taza es de unos $0{,}10$ euros, es decir, unos $10$ céntimos.