Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2025

CUARTO EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos apartados.
(4A) Sea $f(x)=\dfrac{x}{x^2-3x-4}$.

(a) (1 punto) Encuentra las asíntotas de la función $f$.
(b) (1 punto) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f$.
(c) (0,5 puntos) Calcula la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x=0$.

$\textbf{(a) (1 punto) Encuentra las asíntotas de la función } \boldsymbol{f}\textbf{.}$

Se trata de una función racional. Factorizamos el denominador para localizar los puntos que quedan fuera del dominio, que son los candidatos a asíntota vertical.

$x^2-3x-4=0\Rightarrow x=\dfrac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\dfrac{3\pm5}{2}\Rightarrow\begin{cases}x=4\\x=-1\end{cases}$

$f(x)=\dfrac{x}{(x-4)(x+1)},\qquad \text{Dom}(f)=\mathbb{R}-\{-1,4\}$

En ninguno de los dos puntos se anula el numerador, así que en ambos hay asíntota vertical. Estudiamos los límites laterales para conocer el comportamiento de la función:

$\lim_{x\to-1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to-1^+}f(x)=+\infty$

$\lim_{x\to4^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to4^+}f(x)=+\infty$

Para las asíntotas horizontales calculamos el límite en el infinito. Al ser el grado del denominador mayor que el del numerador, el límite es cero:

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{x^2-3x-4}=0$

Existe asíntota horizontal $y=0$ en ambas ramas y, por tanto, no hay asíntota oblicua.

Las asíntotas son las verticales $x=-1$ y $x=4$, y la horizontal $y=0$.

$\textbf{(b) (1 punto) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función } \boldsymbol{f}\textbf{.}$

Derivamos aplicando la regla del cociente:

$f'(x)=\dfrac{1\cdot\left(x^2-3x-4\right)-x\,(2x-3)}{\left(x^2-3x-4\right)^2}$

$=\dfrac{x^2-3x-4-2x^2+3x}{\left(x^2-3x-4\right)^2}=\dfrac{-x^2-4}{\left(x^2-3x-4\right)^2}$

No hace falta ningún estudio de signos por intervalos: el denominador es un cuadrado, luego siempre positivo, y el numerador $-\left(x^2+4\right)$ es siempre negativo, porque $x^2+4\geq4>0$ para cualquier $x$.

$f'(x)<0\quad\text{para todo }x\in\text{Dom}(f)$

La función es decreciente en todo su dominio, es decir, en $(-\infty,-1)\cup(-1,4)\cup(4,+\infty)$, y no tiene extremos relativos.

$\textbf{(c) (0,5 puntos) Calcula la recta tangente a la gráfica de la función } \boldsymbol{f}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x=0}\textbf{.}$

La recta tangente pasa por el punto de la gráfica y tiene por pendiente el valor de la derivada en esa abscisa.

$f(0)=\dfrac{0}{-4}=0$

$m=f'(0)=\dfrac{-0-4}{(-4)^2}=\dfrac{-4}{16}=-\dfrac14$

Aplicamos la ecuación punto-pendiente:

$y-f(0)=m\,(x-0)\Rightarrow y=-\dfrac{x}{4}$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=0$ es $y=-\dfrac{x}{4}$.