Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

TERCER EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos apartados.
(3B) Sean $\pi$ el plano que pasa por los puntos $A(2,3,4)$, $B(3,-1,-2)$, $C(5,-1,2)$ y $r$ la recta que pasa por los puntos $D(6,-5,-4)$, $E(7,1,4)$.

(a) (1,5 puntos) Calcula el ángulo entre el plano $\pi$ y la recta $r$, expresando el resultado en grados, minutos y segundos.
(b) (1 punto) En caso de que $r$ y $\pi$ se corten, calcula el punto de intersección. En caso contrario, calcula la distancia entre la recta $r$ y el plano $\pi$.

$\textbf{(a) (1,5 puntos) Calcula el ángulo entre el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y la recta } \boldsymbol{r}\textbf{, expresando el resultado en grados, minutos y segundos.}$

Necesitamos el vector normal del plano y el vector director de la recta. El primero se obtiene con el producto vectorial de dos vectores contenidos en el plano.

$\overrightarrow{AB}=(3,-1,-2)-(2,3,4)=(1,-4,-6)$

$\overrightarrow{AC}=(5,-1,2)-(2,3,4)=(3,-4,-2)$

$\vec n_\pi=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&-4&-6\\3&-4&-2\end{vmatrix}=(-16,-16,8)$

Dividiendo entre $8$ para simplificar:

$\vec n_\pi=(-2,-2,1)$

$\vec v_r=\overrightarrow{DE}=(7,1,4)-(6,-5,-4)=(1,6,8)$

El ángulo entre una recta y un plano es el complementario del que forman el director de la recta y el normal del plano, de modo que en la fórmula aparece el seno en lugar del coseno.

$\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\left|\vec v_r\cdot\vec n_\pi\right|}{\left|\vec v_r\right|\left|\vec n_\pi\right|}$

$\vec v_r\cdot\vec n_\pi=1\cdot(-2)+6\cdot(-2)+8\cdot1=-2-12+8=-6$

$\left|\vec v_r\right|=\sqrt{1+36+64}=\sqrt{101},\qquad \left|\vec n_\pi\right|=\sqrt{4+4+1}=3$

$\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{|-6|}{3\sqrt{101}}=\dfrac{2}{\sqrt{101}}=0{,}1990$

$\alpha=\arcsin 0{,}1990=11{,}4789^\circ$

Pasamos la parte decimal a minutos y segundos:

$0{,}4789\cdot60=28{,}73'\qquad 0{,}73\cdot60=44''$

El ángulo que forman la recta y el plano es de $11^\circ\,28'\,44''$.

$\textbf{(b) (1 punto) En caso de que } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi}\textbf{ se corten, calcula el punto de intersección. En caso contrario, calcula la distancia entre la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{.}$

El ángulo obtenido no es nulo, luego la recta no es paralela al plano y forzosamente lo corta en un punto. Escribimos primero la ecuación del plano, imponiendo que pase por $A(2,3,4)$:

$\pi:-2x-2y+z+D=0$

$-2\cdot2-2\cdot3+4+D=0\Rightarrow -6+D=0\Rightarrow D=6$

$\pi\equiv 2x+2y-z-6=0$

Comprobamos que los otros dos puntos también lo verifican:

$B(3,-1,-2):\ 6-2+2-6=0;\qquad C(5,-1,2):\ 10-2-2-6=0$

Escribimos ahora la recta en paramétricas y sustituimos en el plano:

$r:\begin{cases}x=6+t\\ y=-5+6t\\ z=-4+8t\end{cases}$

$2(6+t)+2(-5+6t)-(-4+8t)-6=0$

$12+2t-10+12t+4-8t-6=0\Rightarrow 6t=0\Rightarrow t=0$

El punto de corte es el que corresponde a $t=0$, es decir, el propio punto $D$ del enunciado, que ya estaba en el plano:

$r\cap\pi=D(6,-5,-4)$