Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

TERCER EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos apartados.
(3A) (2,5 puntos) Halla el punto $P'$ simétrico de $P(4,-3,0)$ respecto de la recta $r$ que pasa por los puntos $A(-2,0,1)$ y $B(-2,-1,0)$.

El punto simétrico de $P$ respecto de la recta $r$ es el que está al otro lado de ella, alineado con $P$ y perpendicularmente a $r$. Se calcula en tres fases: i) escribimos la recta, ii) hallamos el pie $Q$ de la perpendicular trazada desde $P$, y iii) imponemos que $Q$ sea el punto medio de $P$ y $P'$.

i) La recta pasa por $A$ y lleva la dirección del vector que une los dos puntos dados:

$\vec v_r=\overrightarrow{AB}=(-2,-1,0)-(-2,0,1)=(0,-1,-1)$

$r:\begin{cases}x=-2\\ y=-t\\ z=1-t\end{cases},\ t\in\mathbb{R}$

ii) Un punto genérico de la recta es $Q(-2,-t,1-t)$. El vector $\overrightarrow{PQ}$ ha de ser perpendicular a la recta, es decir, su producto escalar con el director debe anularse.

$\overrightarrow{PQ}=(-2,-t,1-t)-(4,-3,0)=(-6,\,3-t,\,1-t)$

$\overrightarrow{PQ}\cdot\vec v_r=0\Rightarrow (-6)\cdot0+(3-t)(-1)+(1-t)(-1)=0$

$-3+t-1+t=0\Rightarrow 2t=4\Rightarrow t=2$

$Q(-2,-2,-1)$

iii) Basta razonar que $Q$ es el punto medio del segmento $\overline{PP'}$. Así:

$Q=\left(\dfrac{4+P'_x}{2},\dfrac{-3+P'_y}{2},\dfrac{0+P'_z}{2}\right)$

$\begin{cases}-2=\dfrac{4+P'_x}{2}\Rightarrow P'_x=-8\\[2pt] -2=\dfrac{-3+P'_y}{2}\Rightarrow P'_y=-1\\[2pt] -1=\dfrac{P'_z}{2}\Rightarrow P'_z=-2\end{cases}$

Comprobamos que $P$ y $P'$ equidistan de la recta, como debe ocurrir con dos puntos simétricos:

$\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{36+1+1}=\sqrt{38}=\left|\overrightarrow{QP'}\right|$

El punto simétrico pedido es $P'(-8,-1,-2)$.