Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

SEGUNDO EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos apartados.
(2A) Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$\begin{cases} x+3z=3+\alpha y\\ z+\alpha x+y-2=0\\ x+2z-y=1.\end{cases}$

(a) (1,5 puntos) Discute la existencia de solución según los valores del parámetro $\alpha$.
(b) (1 punto) Si es posible, resuélvelo en el caso $\alpha=0$.

$\textbf{(a) (1,5 puntos) Discute la existencia de solución según los valores del parámetro } \boldsymbol{\alpha}\textbf{.}$

Antes de nada ordenamos el sistema, pasando todas las incógnitas al primer miembro y los términos independientes al segundo.

$\begin{cases} x-\alpha y+3z=3\\ \alpha x+y+z=2\\ x-y+2z=1\end{cases}$

La discusión se hace con el teorema de Rouché-Frobenius, así que empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\begin{pmatrix}1&-\alpha&3\\ \alpha&1&1\\ 1&-1&2\end{pmatrix}$

$|A|=1(2+1)+\alpha(2\alpha-1)+3(-\alpha-1)$

$=3+2\alpha^2-\alpha-3\alpha-3=2\alpha^2-4\alpha=2\alpha(\alpha-2)$

$|A|=0\Rightarrow\begin{cases}\alpha=0\\ \alpha=2\end{cases}$

Distinguimos los tres casos.

i) Si $\alpha\neq0$ y $\alpha\neq2$, entonces $|A|\neq0$, luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=3$ y el sistema es compatible determinado: tiene solución única.

ii) Si $\alpha=0$, la matriz ampliada queda:

$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&3&3\\0&1&1&2\\1&-1&2&1\end{array}\right)$

Haciendo $F_3-F_1+F_2$ se anula la tercera fila, de modo que $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=2<3$ y el sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.

iii) Si $\alpha=2$:

$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&-2&3&3\\2&1&1&2\\1&-1&2&1\end{array}\right)$

Orlando el menor $\begin{vmatrix}1&-2\\2&1\end{vmatrix}=5\neq0$ con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}1&-2&3\\2&1&2\\1&-1&1\end{vmatrix}=1(1+2)+2(2-2)+3(-2-1)=3+0-9=-6\neq0$

Luego $\text{rg}(A)=2$ pero $\text{rg}(A^*)=3$, y el sistema es incompatible: no tiene solución.

En resumen: el sistema tiene solución única si $\alpha\neq0$ y $\alpha\neq2$; tiene infinitas soluciones si $\alpha=0$; y no tiene ninguna si $\alpha=2$.

$\textbf{(b) (1 punto) Si es posible, resuélvelo en el caso } \boldsymbol{\alpha=0}\textbf{.}$

Es posible, porque para $\alpha=0$ el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad. Nos quedamos con las dos primeras ecuaciones, que son las independientes, y tomamos $z$ como parámetro.

$\begin{cases}x+3z=3\\ y+z=2\end{cases},\qquad z=\lambda$

$x=3-3\lambda,\qquad y=2-\lambda$

$(x,y,z)=(3-3\lambda,\;2-\lambda,\;\lambda),\quad \lambda\in\mathbb{R}$

Comprobamos en la tercera ecuación, que es la que se ha descartado por dependiente:

$x-y+2z=(3-3\lambda)-(2-\lambda)+2\lambda=1$

Para $\alpha=0$ el sistema tiene infinitas soluciones, dadas por $(3-3\lambda,\;2-\lambda,\;\lambda)$ con $\lambda$ real.