Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

B.2.- Leyes de Kepler. Enunciados. Deducción de la 3ª ley para órbitas circulares, a partir de la ley de Gravitación.

$\textbf{Leyes de Kepler. Enunciados.}$

Kepler obtuvo sus tres leyes entre 1609 y 1619 a partir de las medidas de posiciones planetarias de Tycho Brahe. Son leyes empíricas, deducidas de la observación, y describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol; Newton las explicó después a partir de la ley de gravitación universal. Valen igualmente para cualquier cuerpo que orbite en torno a otro mucho más masivo, como los satélites alrededor de un planeta.










i) Primera ley, o ley de las órbitas: los planetas describen órbitas elípticas y planas, estando el Sol en uno de los focos. El otro foco queda vacío. Las excentricidades de las órbitas planetarias son pequeñas, de modo que en la práctica se parecen mucho a circunferencias.

ii) Segunda ley, o ley de las áreas: el radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Dicho de otro modo, la velocidad areolar es constante.





De la segunda ley se sigue que el planeta no se mueve con velocidad uniforme: cuando está cerca del Sol, en el perihelio, el radio vector es corto y debe recorrer un arco largo para barrer la misma área, de manera que va más deprisa; en el afelio ocurre lo contrario. Su significado profundo es la conservación del momento angular, consecuencia de que la fuerza gravitatoria es central.

iii) Tercera ley, o ley de los periodos: los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las órbitas.

$\dfrac{T^{2}}{a^{3}}=\text{constante}$

La constante es la misma para todos los planetas de un mismo sistema, pero cambia de un sistema a otro, porque depende de la masa del astro central.

$\textbf{Deducción de la 3ª Ley para órbitas circulares, a partir de la Ley de Gravitación.}$

Se supone la órbita circular de radio $r$, que es el caso particular en que los dos focos coinciden con el centro y el semieje mayor es el propio radio. La única fuerza que actúa sobre el planeta es la atracción gravitatoria del Sol, dada por la ley de gravitación universal, y esa fuerza es la que hace de fuerza centrípeta del movimiento circular uniforme:

$G\dfrac{M_S\,m}{r^{2}}=m\,a_n=m\,\dfrac{v^{2}}{r}$

La velocidad de un movimiento circular uniforme se escribe en función del periodo como el cociente entre la longitud de la circunferencia y el tiempo empleado en recorrerla:

$v=\dfrac{2\pi r}{T}$

Sustituyendo y simplificando la masa del planeta, que aparece en los dos miembros:

$G\dfrac{M_S}{r^{2}}=\dfrac{1}{r}\left(\dfrac{2\pi r}{T}\right)^{2}=\dfrac{4\pi^{2}r}{T^{2}}$

$T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}}{G\,M_S}\,r^{3}$

$\dfrac{T^{2}}{r^{3}}=\dfrac{4\pi^{2}}{G\,M_S}=\text{constante}$

Queda así demostrada la tercera ley. La deducción muestra además dos cosas que Kepler no podía saber: que la constante de proporcionalidad depende únicamente de la masa del astro central, lo que permite pesarlo midiendo el periodo y el radio de la órbita de cualquiera de sus satélites, y que la masa del planeta no interviene, de modo que dos cuerpos distintos en la misma órbita tardan lo mismo en recorrerla.