Ejercicio resuelto de Óptica · Física · País Vasco · 2023

4. Un bañista situado al borde de un trampolín descubre un objeto en el fondo de la piscina, que tiene una profundidad de $2m$. Para observarlo ha necesitado mirar con un ángulo de $60^{\circ}$ respecto a la normal a la superficie del agua, estando su ojo situado a $3m$ de altura sobre el agua. Dado que el valor del índice de refracción del agua es $n_{\text{agua}}=1{.}33$, calcula:

a) la distancia horizontal a la que se encuentra el objeto respecto a la vertical desde el borde del trampolín.
b) el ángulo límite entre ambos medios, realizando un esquema que indique la marcha del rayo.

$\textbf{a) La distancia horizontal a la que se encuentra el objeto respecto a la vertical desde el borde del trampolín.}$










El rayo que llega al ojo procede del objeto y se ha refractado al salir del agua. Su trayectoria se compone de dos tramos rectos: uno en el aire, que forma $60^{\circ}$ con la normal, y otro en el agua, con el ángulo que da la ley de Snell.

$n_{aire}\operatorname{sen}\varphi_i=n_{agua}\operatorname{sen}\varphi_r$

$\operatorname{sen}\varphi_r=\dfrac{\operatorname{sen}60^{\circ}}{1{,}33}=0{,}651$

$\varphi_r=40^{\circ}37'$





La distancia horizontal total es la suma de las que se recorren en cada tramo, y cada una sale de la tangente del ángulo correspondiente en el triángulo rectángulo que forma con la vertical.

$\tan60^{\circ}=\dfrac{d_1}{h_1}\Rightarrow d_1=h_1\tan60^{\circ}=3\cdot1{,}732=5{,}20\ \text{m}$

$\tan40^{\circ}37'=\dfrac{d_2}{h_2}\Rightarrow d_2=h_2\tan40^{\circ}37'=2\cdot0{,}858=1{,}72\ \text{m}$

$D=d_1+d_2=5{,}20+1{,}72=6{,}92\ \text{m}$

El objeto se encuentra a $6{,}92\ \text{m}$ de la vertical trazada desde el borde del trampolín. Conviene observar que el bañista, al prolongar en línea recta el rayo que le llega, ve el objeto en una posición distinta de la real y a menor profundidad: es el mismo efecto por el que una cuchara metida en un vaso parece quebrada.

$\textbf{b) El ángulo límite entre ambos medios, realizando un esquema que indique la marcha del rayo.}$










El ángulo límite solo existe cuando la luz va del medio más refringente al menos refringente, es decir, en este caso del agua al aire. Es aquel ángulo de incidencia para el que el rayo refractado sale rasante a la superficie, con $\varphi_r=90^{\circ}$.

$n_{agua}\operatorname{sen}\varphi_L=n_{aire}\operatorname{sen}90^{\circ}=1$

$\operatorname{sen}\varphi_L=\dfrac{1}{1{,}33}=0{,}752$





$\varphi_L=48^{\circ}45'$

El ángulo límite entre el agua y el aire vale $48^{\circ}45'$. Para ángulos de incidencia mayores no hay rayo refractado y toda la luz vuelve al agua: es la reflexión total. Por eso un buceador que mire hacia arriba solo ve el exterior a través de un círculo luminoso, y más allá de él la superficie le devuelve la imagen del fondo como un espejo. En el problema el rayo incide desde el agua con $40^{\circ}37'$, por debajo del límite, y de ahí que sí llegue a salir.