Ejercicio resuelto de Ondas · Física · País Vasco · 2023

2. Una onda transversal se propaga de derecha a izquierda por una cuerda muy larga con una velocidad de propagación de $30\,m/s$, siendo su longitud de onda $\lambda=1{.}5m$ y la amplitud de vibración de $0{.}2m$. Tomando el origen de coordenadas en el extremo de la derecha y en el instante $t=0$, el extremo derecho de la cuerda se encuentra en la posición de desplazamiento nulo y sentido positivo de velocidad de oscilación. Determina:

a) el número de ondas y la frecuencia angular.
b) la ecuación que describe el movimiento ondulatorio de la cuerda.
c) la velocidad y aceleración máximas de vibración alcanzadas por un punto de la onda.

$\textbf{a) El número de ondas y la frecuencia angular.}$

El número de onda es el periodo espacial expresado en radianes por metro, y la frecuencia angular, el periodo temporal en radianes por segundo. Se obtienen de la longitud de onda y de la frecuencia, que a su vez sale de la relación entre velocidad, frecuencia y longitud de onda.

$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{1{,}5}=\dfrac{4\pi}{3}=4{,}19\ \text{rad/m}$

$f=\dfrac{v}{\lambda}=\dfrac{30}{1{,}5}=20\ \text{Hz}$

$\omega=2\pi f=40\pi=125{,}7\ \text{rad/s}$

El número de onda vale $4\pi/3\ \text{rad/m}$ y la frecuencia angular, $40\pi\ \text{rad/s}$, lo que corresponde a un periodo de $0{,}05\ \text{s}$.

$\textbf{b) La ecuación que describe el movimiento ondulatorio de la cuerda.}$

Como la onda se propaga de derecha a izquierda, es decir, en el sentido negativo del eje $X$, los términos temporal y espacial de la fase llevan el mismo signo:

$y(x,t)=A\operatorname{sen}\left(\omega t+k\,x+\phi_0\right)$

La fase inicial se determina con las dos condiciones del enunciado sobre el extremo derecho, que es el origen de coordenadas. La primera es que en $t=0$ su desplazamiento es nulo:

$y(0,0)=A\operatorname{sen}\phi_0=0\Rightarrow\phi_0=0\ \text{rad}\quad\text{o}\quad\phi_0=\pi\ \text{rad}$

La segunda, que en ese instante la velocidad de oscilación es positiva, permite elegir entre las dos. Derivando respecto del tiempo:

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=A\,\omega\cos\left(\omega t+k\,x+\phi_0\right)$

$v_y(0,0)=A\,\omega\cos\phi_0>0\Rightarrow\cos\phi_0>0\Rightarrow\phi_0=0$

Se descarta $\pi$, cuyo coseno es negativo y correspondería a un punto que baja. Sustituyendo todos los valores:

$y(x,t)=0{,}2\operatorname{sen}\left(40\pi\,t+\dfrac{4\pi}{3}\,x\right)\ \text{m}$

La ecuación de la onda es la anterior, con $x$ e $y$ en metros y $t$ en segundos.

$\textbf{c) La velocidad y aceleración máximas de vibración alcanzadas por un punto de la onda.}$

No debe confundirse la velocidad de vibración de los puntos de la cuerda, que es lo que se pide, con la velocidad de propagación de la onda, que es constante e igual a $30\ \text{m/s}$. La primera se obtiene derivando la elongación respecto del tiempo, y la aceleración, derivando otra vez.

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=A\,\omega\cos\left(\omega t+k\,x\right)$

$a_y=\dfrac{\partial v_y}{\partial t}=-A\,\omega^{2}\operatorname{sen}\left(\omega t+k\,x\right)=-\omega^{2}\,y$

Los valores máximos se alcanzan cuando el coseno y el seno valen la unidad, respectivamente:

$v_{y,max}=A\,\omega=0{,}2\cdot40\pi=8\pi=25{,}1\ \text{m/s}$

$a_{y,max}=A\,\omega^{2}=0{,}2\cdot\left(40\pi\right)^{2}=320\pi^{2}=3{,}16\cdot10^{3}\ \text{m/s}^{2}$

La velocidad máxima de vibración es de $25{,}1\ \text{m/s}$ y se alcanza al pasar cada punto por su posición de equilibrio; la aceleración máxima es de $3{,}16\cdot10^{3}\ \text{m/s}^{2}$ y se alcanza en los extremos de la oscilación, donde el punto se detiene e invierte el sentido. Nótese que ambas están en cuadratura: donde una es máxima, la otra se anula.