Ejercicio resuelto de Solubilidad · Química · 2025

La Sierra Minera de Cartagena-La Unión ha sido explotada desde la Antigüedad, siendo fuente de riqueza y desarrollo, pero causando también un enorme impacto medioambiental, dramáticamente visible en la bahía de Portmán, que quedó enterrada bajo millones de toneladas de estériles mineros en la segunda mitad del S. XX.
De las minas de la Unión se han extraído tres sulfuros: la galena (PbS), la blenda (ZnS) y la pirita ($\mathrm{FeS_2}$).
4B La galena (PbS) era ya conocida y usada por los antiguos egipcios siendo, por ejemplo, el principal componente del kohl, un polvo cosmético usado como máscara de ojos. Sin embargo, el plomo es un elemento muy tóxico, que se acumula en el organismo y produce daños neurológicos (saturnismo).

a) Afortunadamente, la solubilidad del PbS es muy pequeña ($K_{ps} = 1{,}3\cdot 10^{-28}$). Calcule las concentraciones de iones $\mathrm{Pb^{2+}}$ y $\mathrm{S^{2-}}$ en una disolución saturada de kohl (PbS). (0,50 puntos)
b) Razone cualitativamente cómo variará la $[\mathrm{Pb^{2+}}]$ en un cierto volumen de disolución saturada de PbS si:
b1) Se adiciona una sal soluble de Ag(I), cuyo anión no interfiere con el equilibrio. (0,30 puntos)
Dato: el $\mathrm{Ag_2S}$ es aún más insoluble ($K_{ps} = 2{,}1\cdot 10^{-49}$) que el PbS.
b2) Se aumenta la T (la disolución de PbS en agua es un proceso endotérmico). (0,30 puntos)
b3) Se duplica la cantidad de PbS (s). (0,30 puntos)
c) En la galena argentífera, el PbS se encuentra asociado con $\mathrm{Ag_2S}$. El Cabezo Rajao, en la Unión, debe su nombre a la explotación a cielo abierto de un filón de este mineral, en época romana. Si se procesaron un millón de toneladas de tierra con una riqueza media del 5% en galena argentífera que, a su vez, contenía un 0,5% en masa de $\mathrm{Ag_2S}$, calcule la masa de Ag metálica que se obtuvo del yacimiento, suponiendo un aprovechamiento total en el proceso de extracción, separación y reducción de la Ag. Exprese el resultado con dos cifras significativas. (0,60 puntos)

$\textbf{a) Calcule las concentraciones de iones Pb}^{2+}\textbf{ y S}^{2-}\textbf{ en una disolución saturada de kohl (PbS). (0{,}50 puntos)}$

El sulfuro de plomo(II) se disuelve dando un ion de cada tipo, así que si se llama $s$ a la solubilidad, las dos concentraciones valen lo mismo:

$\mathrm{PbS(s)} \rightleftharpoons \mathrm{Pb^{2+}(ac)} + \mathrm{S^{2-}(ac)}$

$K_{ps} = [\mathrm{Pb^{2+}}]\,[\mathrm{S^{2-}}] = s \cdot s = s^2$

$s = \sqrt{K_{ps}} = \sqrt{1{,}3 \cdot 10^{-28}}$

$[\mathrm{Pb^{2+}}] = [\mathrm{S^{2-}}] = 1{,}1 \cdot 10^{-14} \text{ mol/L}$

Una concentración tan ridícula explica que el kohl se pudiera usar sobre la piel: el plomo está ahí, pero prácticamente nada de él pasa a disolución.

$\textbf{b1) Se adiciona una sal soluble de Ag(I), cuyo anión no interfiere con el equilibrio. (0{,}30 puntos)}$

El dato de que el $\mathrm{Ag_2S}$ es aún más insoluble es el que decide. Los iones $\mathrm{Ag^+}$ que se añaden encuentran sulfuro en disolución y precipitan con él:

$2\,\mathrm{Ag^+} + \mathrm{S^{2-}} \rightarrow \mathrm{Ag_2S(s)}$

Al retirar $\mathrm{S^{2-}}$, que es uno de los productos del equilibrio de solubilidad, este se desplaza hacia la derecha según el principio de Le Chatelier y se disuelve más PbS.

La concentración de $\mathrm{Pb^{2+}}$ $\textbf{aumenta}$.

$\textbf{b2) Se aumenta la T (la disolución de PbS en agua es un proceso endotérmico). (0{,}30 puntos)}$

En un proceso endotérmico el calor se comporta como un reactivo más. Al subir la temperatura se aporta calor, y el equilibrio se desplaza en el sentido en que se absorbe, es decir, hacia la disolución del sólido.

La concentración de $\mathrm{Pb^{2+}}$ $\textbf{aumenta}$, porque aumenta la solubilidad y con ella el valor de $K_{ps}$.

$\textbf{b3) Se duplica la cantidad de PbS (s). (0{,}30 puntos)}$

Los sólidos puros no figuran en la expresión de la constante de equilibrio, porque su concentración es una propiedad fija que no depende de cuánto sólido haya.

Si la disolución ya estaba saturada, añadir más sólido solo aumenta la cantidad de PbS depositado en el fondo. La concentración de $\mathrm{Pb^{2+}}$ $\textbf{no varía}$.

$\textbf{c) Calcule la masa de Ag metálica que se obtuvo del yacimiento. Exprese el resultado con dos cifras significativas. (0{,}60 puntos)}$

Se encadenan los dos porcentajes sobre la masa de tierra procesada:

$m(\text{galena argentífera}) = 10^{6} \cdot 0{,}05 = 5{,}0 \cdot 10^{4} \text{ t}$

$m(\mathrm{Ag_2S}) = 5{,}0 \cdot 10^{4} \cdot 0{,}005 = 250 \text{ t} = 2{,}50 \cdot 10^{8} \text{ g}$

Con $M(\mathrm{Ag_2S}) = 2 \cdot 107{,}9 + 32 = 247{,}8$ g/mol:

$n(\mathrm{Ag_2S}) = \frac{2{,}50 \cdot 10^{8}}{247{,}8} = 1{,}009 \cdot 10^{6} \text{ mol}$

Cada mol de sulfuro contiene dos de plata:

$n(\mathrm{Ag}) = 2 \cdot 1{,}009 \cdot 10^{6} = 2{,}018 \cdot 10^{6} \text{ mol}$

$m(\mathrm{Ag}) = 2{,}018 \cdot 10^{6} \cdot 107{,}9 = 2{,}2 \cdot 10^{8} \text{ g}$

Del yacimiento se obtuvieron unas 220 toneladas de plata metálica.