Ejercicio resuelto de Recta tangente y normal · Matemáticas I

Halla los puntos de la curva $y=3x^2-5x+12$ en los que la recta tangente a ella pasa por el origen de coordenadas. Escribe las ecuaciones de dichas tangentes.

La recta tangente a la gráfica de una función $f$ en el punto de abscisa $x=a$ es la recta que pasa por el punto $(a,f(a))$ y tiene por pendiente la derivada en ese punto, $f^{\mathrm{\prime }}(a)$. Su ecuación en forma punto-pendiente es:
$\boxed{{\displaystyle y-f(a)=f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)}}$





$\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{tangente}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{cualquiera}}$
No se sabe en qué punto es tangente la recta: se llama $a$ a su abscisa y se escribe la tangente en función de $a$. Con $f(x)=3x^2-5x+12$:
$f(a)=3a^2-5a+12f^{\mathrm{\prime }}(x)=6x-5f^{\mathrm{\prime }}(a)=6a-5$
$y-(3a^2-5a+12)=(6a-5)(x-a)$


$\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{condici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pasar}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen}}$
La recta pasa por $(0,0)$ si al sustituir $x=0$, $y=0$ la igualdad se cumple:
$0=(6a-5)(0-a)+3a^2-5a+12=-6a^2+5a+3a^2-5a+12=-3a^2+12$
$-3a^2+12=0\Rightarrow a^2=4$
$a=2,a=-2$
Hay dos puntos. Sus ordenadas:
$f(2)=3\cdot 2^2-5\cdot 2+12=12-10+12=14$
$f(-2)=3\cdot (-2{)}^2-5\cdot (-2)+12=12+10+12=34$
$\boxed{{\displaystyle P_1(2,14)P_2(-2,34)}}$


$\mathbf{\text{Ecuaciones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{tangentes}}$
En $P_1(2,14)$ la pendiente es $f^{\mathrm{\prime }}(2)=6\cdot 2-5=7$:
$y-14=7(x-2)\Rightarrow y=7(x-2)+14=7x$
En $P_2(-2,34)$ la pendiente es $f^{\mathrm{\prime }}(-2)=6\cdot (-2)-5=-17$:
$y-34=-17(x+2)\Rightarrow y=-17(x+2)+34=-17x$
$\boxed{{\displaystyle y=7xy=-17x}}$
Las dos pasan por el origen, como tenía que ser.