Ejercicio resuelto de Recta tangente y normal · Matemáticas I

Halla el punto de la función $f(x)=\mathrm{sen}{x}^2$ en que la recta tangente tiene pendiente $-2\sqrt{\pi }$ y escribe su ecuación.

La recta tangente a la gráfica de una función $f$ en el punto de abscisa $x=a$ es la recta que pasa por el punto $(a,f(a))$ y tiene por pendiente la derivada en ese punto, $f^{\mathrm{\prime }}(a)$. Su ecuación en forma punto-pendiente es:
$\boxed{{\displaystyle y-f(a)=f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)}}$
Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Como la pendiente de la tangente en un punto es la derivada en ese punto, los puntos en los que la tangente es paralela a una recta de pendiente $m$ son las soluciones de:
$\boxed{{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x_0)=m}}$





$\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{derivada}}$
Se deriva con la regla de la cadena: la derivada de $\mathrm{sen}u$ es $\cos u\cdot u^{\mathrm{\prime }}$, con $u=x^2$ y $u^{\mathrm{\prime }}=2x$:
$f(x)=\mathrm{sen}\left(x^2\right)$
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x\cos \left(x^2\right)$


$\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tangencia}}$
Se impone que la pendiente valga $-2\sqrt{\pi }$:
$2x\cos \left(x^2\right)=-2\sqrt{\pi }\Rightarrow x\cos \left(x^2\right)=-\sqrt{\pi }$
El coseno vale como mínimo $-1$, y lo vale cuando su argumento es $\pi$. Con $x^2=\pi$, es decir $x=\sqrt{\pi }$, se cumple justo la condición:
$f^{\mathrm{\prime }}\left(\sqrt{\pi }\right)=2\sqrt{\pi }\cos \pi =2\sqrt{\pi }\cdot (-1)=-2\sqrt{\pi }$
La ordenada del punto:
$f\left(\sqrt{\pi }\right)=\mathrm{sen}\left({\left(\sqrt{\pi }\right)}^2\right)=\mathrm{sen}\pi =0$
El punto de tangencia es $P(\sqrt{\pi },0)$. (Más lejos del origen la función $2x\cos \left(x^2\right)$ vuelve a tomar ese valor, porque oscila con amplitud creciente, pero esos puntos no tienen coordenadas exactas; el que se pide es este.)


$\mathbf{\text{Ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{tangente}}$
Con el punto $(\sqrt{\pi },0)$ y la pendiente $-2\sqrt{\pi }$:
$y=-2\sqrt{\pi }(x-\sqrt{\pi })\Rightarrow y=-2\sqrt{\pi }(x-\sqrt{\pi })=-2\sqrt{\pi }x+2\pi$
$\boxed{{\displaystyle y=-2\sqrt{\pi }x+2\pi }}$