Ejercicio resuelto de Energía cinética · Física y Química I

Un cuerpo de 100 kg cae desde una altura de 9 m y choca contra una varilla vertical de 0,5 m sin masa que se introduce completamente en el suelo. Calcula:

a) La energía cinética del cuerpo al terminar su caída.

b) La resistencia que opone el suelo a la varilla.

El sistema es el cuerpo. Durante los 9 m de caída solo actúa su peso, a favor del movimiento ($\cos 0^{\circ }=1$); después, mientras la varilla se hunde otros 0,5 m, actúan el peso y la resistencia del suelo, que se transmite por la varilla y va en contra ($\cos {180}^{\circ }=-1$). El teorema de las fuerzas vivas dice que el trabajo total de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual a la variación de su energía cinética. Cada trabajo se calcula con el ángulo que forma esa fuerza con el desplazamiento: $\cos 0^{\circ }=1$ si va a favor y $\cos {180}^{\circ }=-1$ si va en contra. Tomamos $g=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$.
$\boxed{{\displaystyle W=Fd\cos \alpha }}$
$\boxed{{\displaystyle W_{\text{total}}=\mathrm{\Delta }{E}_C=E_{C_{\text{final}}}-E_{C_{\text{inicial}}}}}$





$\mathbf{\text{a)}}$ Parte del reposo, así que $E_{C_{\text{inicial}}}=0$. El único trabajo en la caída es el del peso, $P=mg$, a lo largo de los 9 m y a favor:
$W_P=Ph\cos 0^{\circ }=mgh=100\cdot \mathrm{9,8}\cdot 9=8820\text{ J}$
Por el teorema de las fuerzas vivas, ese trabajo es la energía cinética que tiene al terminar la caída:
$W_P=E_C-0\Rightarrow E_C=8820\text{ J}$
$\boxed{{\displaystyle E_C=8820\text{ J}}}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Desde que toca la varilla hasta que se para baja 0,5 m más. En ese tramo hacen trabajo el peso, a favor, y la resistencia del suelo $F$, en contra; y la energía cinética pasa de $8820\text{ J}$ a cero:
$W_P+W_F=0-E_C$
$mg\cdot \mathrm{0,5}-F\cdot \mathrm{0,5}=-8820$
$100\cdot \mathrm{9,8}\cdot \mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}F=-8820\Rightarrow 490-\mathrm{0,5}F=-8820$
Despejando la fuerza:
$F={\displaystyle \frac{8820+490}{\mathrm{0,5}}}=18620\text{ N}$
$\boxed{{\displaystyle F=18620\text{ N}}}$
Si se desprecia el trabajo del peso durante el medio metro de frenada ($490\text{ J}$ frente a $8820\text{ J}$), que es lo que se hace a menudo, queda $F={\displaystyle \frac{8820}{\mathrm{0,5}}}=17640\text{ N}$: un 5 % menos.