Ejercicio resuelto de Inmediatas · Matemáticas I

Calcular las siguientes integrales de tipo exponencial:

a) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{e^{\mathrm{arctg}x}}{1+x^2}}dx}$
b) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{e^{\mathrm{arcsen}x}}{\sqrt{1-x^2}}}dx}$
c) ${\displaystyle \int {12}^{x}dx}$
d) ${\displaystyle \int {\left(6^x\right)}^{2}dx}$
e) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{7^x}{5^x}}dx}$
f) ${\displaystyle \int 5^x{9}^{x}dx}$

La exponencial es la única función que se integra en sí misma, siempre que dentro aparezca la derivada del exponente:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \int e^{f(x)}\cdot f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)dx=e^{f(x)}+C}}}$
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \int a^{f(x)}\cdot f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)dx={\displaystyle \frac{a^{f(x)}}{\ln a}}+C}}}$
Con base $e$ no hay denominador; con otra base hay que dividir por $\ln a$.

$\mathbf{\text{a)}}$ Identificamos $f(x)=\mathrm{arctg}x$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$.
El integrando ya tiene exactamente esa forma, así que aplicamos la regla:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{e^{\mathrm{arctg}x}}{1+x^2}}dx=e^{\mathrm{arctg}x}+C}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Identificamos $f(x)=\mathrm{arcsen}x$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{-x^2+1}}}$.
El integrando ya tiene exactamente esa forma, así que aplicamos la regla:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{e^{\mathrm{arcsen}x}}{\sqrt{1-x^2}}}dx=e^{\mathrm{arcsen}x}+C}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Identificamos $f(x)=x$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=1$.
El integrando ya tiene exactamente esa forma, así que aplicamos la regla:
${\displaystyle \int {12}^{x}dx={\displaystyle \frac{{12}^x}{\ln 12}}+C}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Identificamos $f(x)=x$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=1$.
El integrando ya tiene exactamente esa forma, así que aplicamos la regla:
${\displaystyle \int {\left(6^x\right)}^{2}dx={\displaystyle \frac{{36}^x}{\ln 36}}+C}$
Antes de integrar conviene simplificar la base: ${\left(6^x\right)}^2={36}^x$.


$\mathbf{\text{e)}}$ Identificamos $f(x)=x$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=1$.
El integrando ya tiene exactamente esa forma, así que aplicamos la regla:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{7^x}{5^x}}dx={\displaystyle \frac{{\left(7\mathrm{/}5\right)}^x}{\ln \left(7\mathrm{/}5\right)}}={\displaystyle \frac{{\left({\displaystyle \frac{7}{5}}\right)}^x}{\ln {\displaystyle \frac{7}{5}}}}+C}$
Se juntan las dos potencias en una sola base: ${\displaystyle \frac{7^x}{5^x}}={\left({\displaystyle \frac{7}{5}}\right)}^x$.


$\mathbf{\text{f)}}$ Identificamos $f(x)=x$, cuya derivada es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=1$.
El integrando ya tiene exactamente esa forma, así que aplicamos la regla:
${\displaystyle \int 5^x{9}^{x}dx={\displaystyle \frac{{45}^x}{\ln 45}}+C}$
Se juntan las dos potencias en una sola base: $5^x{9}^x={45}^x$.