Ejercicio resuelto de Repaso de polinomios · Matemáticas I

Efectuar los siguientes cocientes, indicando claramente el cociente $C(x)$ y el resto $R(x)$, y comprobar el resultado mediante la regla $D=d\cdot C+R$:

a) $(4x^4-3x^2+5x-7):(2x^2+x-3)$
b) $(4x^5+3x^3-2x^2+5):(2x^2-x+3)$
c) $(6x^4+5x^2-3x+8):(3x^3-2x-3)$
d) $(4x^4+2x^3-3x^2+5x-1):(2x^2-3)$
e) $(8x^4+3x^3+2x-2):(4x^2+x-3)$

Se ordenan ambos polinomios en potencias decrecientes y, en cada paso, se divide el término de mayor grado del dividendo entre el de mayor grado del divisor; ese cociente parcial se multiplica por el divisor y se resta. Se repite mientras el grado del resto sea mayor o igual que el del divisor. La comprobación es la regla de la división:
$\boxed{{\displaystyle D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)\text{grado}[R(x)]<\text{grado}[d(x)]}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Dividimos, término de mayor grado entre término de mayor grado:
${\displaystyle \frac{4x^4}{2x^2}}=2x^2$, y al restar queda $-2x^3+3x^2+5x-7$
${\displaystyle \frac{-2x^3}{2x^2}}=-x$, y al restar queda $4x^2+2x-7$
${\displaystyle \frac{4x^2}{2x^2}}=2$, y al restar queda $-1$
El grado del resto ya es menor que el del divisor, luego:
$C(x)=2x^2-x+2$ y $R(x)=-1$
Comprobamos con $D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)$:
$(2x^2+x-3)(2x^2-x+2)-1=4x^4-3x^2+5x-7$


$\mathbf{\text{b)}}$ Dividimos, término de mayor grado entre término de mayor grado:
${\displaystyle \frac{4x^5}{2x^2}}=2x^3$, y al restar queda $2x^4-3x^3-2x^2+5$
${\displaystyle \frac{2x^4}{2x^2}}=x^2$, y al restar queda $-2x^3-5x^2+5$
${\displaystyle \frac{-2x^3}{2x^2}}=-x$, y al restar queda $-6x^2+3x+5$
${\displaystyle \frac{-6x^2}{2x^2}}=-3$, y al restar queda $14$
El grado del resto ya es menor que el del divisor, luego:
$C(x)=2x^3+x^2-x-3$ y $R(x)=14$
Comprobamos con $D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)$:
$(2x^2-x+3)(2x^3+x^2-x-3)+14=4x^5+3x^3-2x^2+5$


$\mathbf{\text{c)}}$ Dividimos, término de mayor grado entre término de mayor grado:
${\displaystyle \frac{6x^4}{3x^3}}=2x$, y al restar queda $9x^2+3x+8$
El grado del resto ya es menor que el del divisor, luego:
$C(x)=2x$ y $R(x)=9x^2+3x+8$
Comprobamos con $D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)$:
$(3x^3-2x-3)\left(2x\right)+9x^2+3x+8=6x^4+5x^2-3x+8$


$\mathbf{\text{d)}}$ Dividimos, término de mayor grado entre término de mayor grado:
${\displaystyle \frac{4x^4}{2x^2}}=2x^2$, y al restar queda $2x^3+3x^2+5x-1$
${\displaystyle \frac{2x^3}{2x^2}}=x$, y al restar queda $3x^2+8x-1$
${\displaystyle \frac{3x^2}{2x^2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$, y al restar queda $8x+{\displaystyle \frac{7}{2}}$
El grado del resto ya es menor que el del divisor, luego:
$C(x)=2x^2+x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$ y $R(x)=8x+{\displaystyle \frac{7}{2}}$
Comprobamos con $D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)$:
$(2x^2-3)(2x^2+x+{\displaystyle \frac{3}{2}})+8x+{\displaystyle \frac{7}{2}}=4x^4+2x^3-3x^2+5x-1$


$\mathbf{\text{e)}}$ Dividimos, término de mayor grado entre término de mayor grado:
${\displaystyle \frac{8x^4}{4x^2}}=2x^2$, y al restar queda $x^3+6x^2+2x-2$
${\displaystyle \frac{x^3}{4x^2}}={\displaystyle \frac{x}{4}}$, y al restar queda ${\displaystyle \frac{23x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{11x}{4}}-2$
${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{23x^2}{4}}}{4x^2}}={\displaystyle \frac{23}{16}}$, y al restar queda ${\displaystyle \frac{21x}{16}}+{\displaystyle \frac{37}{16}}$
El grado del resto ya es menor que el del divisor, luego:
$C(x)=2x^2+{\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{23}{16}}$ y $R(x)={\displaystyle \frac{21x}{16}}+{\displaystyle \frac{37}{16}}$
Comprobamos con $D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)$:
$(4x^2+x-3)(2x^2+{\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{23}{16}})+{\displaystyle \frac{21x}{16}}+{\displaystyle \frac{37}{16}}=8x^4+3x^3+2x-2$