Ejercicio resuelto de Repaso de polinomios · Matemáticas I

Desarrollar, aplicando el triángulo de Tartaglia:

a) ${(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^4=$
b) ${(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^5=$
c) $(a-b{)}^5=$
d) $(x-3{)}^3=$
e) $(3x-2{)}^4=$

El triángulo de Tartaglia da los coeficientes del desarrollo de una potencia de un binomio (binomio de Newton). Los exponentes de $A$ decrecen de $n$ a $0$ mientras los de $B$ crecen de $0$ a $n$:
$\boxed{{\displaystyle (A+B{)}^n=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{0}\right)A^n+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{1}\right)A^{n-1}B+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{2}\right)A^{n-2}{B}^2+\cdots +\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n}\right)B^n}}$
Si el binomio es una diferencia, los signos se van alternando:
$\boxed{{\displaystyle (A-B{)}^n=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{0}\right)A^n-\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{1}\right)A^{n-1}B+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{2}\right)A^{n-2}{B}^2-\dots }}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Fila 4 del triángulo de Tartaglia: $1,4,6,4,1$, con $A=x$ y $B={\displaystyle \frac{1}{x}}$:
$(A+B{)}^4=A^4+4A^{3}B+6A^2{B}^2+4A{B}^3+B^4$
Sustituimos y operamos cada término:
${(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^4=x^4+4\cdot x^3\cdot \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)+6\cdot x^2\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^2+4\cdot x\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^3+{\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^4$
${(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^4=x^4+4x^2+6+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}+{\displaystyle \frac{1}{x^4}}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Fila 5 del triángulo de Tartaglia: $1,5,10,10,5,1$, con $A=x$ y $B={\displaystyle \frac{1}{2}}$:
$(A+B{)}^5=A^5+5A^{4}B+10A^3{B}^2+10A^2{B}^3+5A{B}^4+B^5$
Sustituimos y operamos cada término:
${(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^5=x^5+5\cdot x^4\cdot \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)+10\cdot x^3\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+10\cdot x^2\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3+5\cdot x\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^4+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^5$
${(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^5=x^5+{\displaystyle \frac{5x^4}{2}}+{\displaystyle \frac{5x^3}{2}}+{\displaystyle \frac{5x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{5x}{16}}+{\displaystyle \frac{1}{32}}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Fila 5 del triángulo de Tartaglia: $1,5,10,10,5,1$, con $A=a$ y $B=b$:
$(A-B{)}^5=A^5-5A^{4}B+10A^3{B}^2-10A^2{B}^3+5A{B}^4-B^5$
Sustituimos y operamos cada término:
$(a-b{)}^5=a^5-5\cdot a^4\cdot b+10\cdot a^3\cdot b^2-10\cdot a^2\cdot b^3+5\cdot a\cdot b^4-b^5$
$(a-b{)}^5=a^5-5a^{4}b+10a^3{b}^2-10a^2{b}^3+5a{b}^4-b^5$


$\mathbf{\text{d)}}$ Fila 3 del triángulo de Tartaglia: $1,3,3,1$, con $A=x$ y $B=3$:
$(A-B{)}^3=A^3-3A^{2}B+3A{B}^2-B^3$
Sustituimos y operamos cada término:
$(x-3{)}^3=x^3-3\cdot x^2\cdot 3+3\cdot x\cdot 3^2-3^3$
$(x-3{)}^3=x^3-9x^2+27x-27$


$\mathbf{\text{e)}}$ Fila 4 del triángulo de Tartaglia: $1,4,6,4,1$, con $A=3x$ y $B=2$:
$(A-B{)}^4=A^4-4A^{3}B+6A^2{B}^2-4A{B}^3+B^4$
Sustituimos y operamos cada término:
$(3x-2{)}^4={\left(3x\right)}^4-4\cdot {\left(3x\right)}^3\cdot 2+6\cdot {\left(3x\right)}^2\cdot 2^2-4\cdot \left(3x\right)\cdot 2^3+2^4$
$(3x-2{)}^4=81x^4-216x^3+216x^2-96x+16$