Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Pregunta 3.2. Sean el punto $P(0, 1, 1)$ y el plano $\pi: x + y = 2$. Se pide:

a) (0,5 puntos) Hallar la distancia del punto $P$ al plano $\pi$.

b) (1 punto) Determinar el punto $Q$ del plano $\pi$ cuya distancia a $P$ es igual que la distancia de $P$ a $\pi$.

c) (1 punto) Hallar el área del triángulo formado por $P$ y los puntos de corte del plano $\pi$ con los ejes coordenados.

$\textbf{a) (0,5 puntos) Hallar la distancia del punto } \boldsymbol{P}\textbf{ al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{.}$

Escribimos el plano en forma general para leer su vector normal y aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

$\pi:\ x+y-2=0 \Rightarrow \vec n_{\pi}=(1,1,0)$

$d(P,\pi)=\dfrac{|0+1-2|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

La distancia del punto al plano es $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}71$ unidades de longitud.

$\textbf{b) (1 punto) Determinar el punto } \boldsymbol{Q}\textbf{ del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ cuya distancia a } \boldsymbol{P}\textbf{ es igual que la distancia de } \boldsymbol{P}\textbf{ a } \boldsymbol{\pi}\textbf{.}$

La distancia de un punto a un plano es, por definición, la menor de sus distancias a los puntos del plano, y ese mínimo se alcanza en uno solo: el pie de la perpendicular. Así que $Q$ es ese pie y es único. Trazamos la recta perpendicular por $P$, cuyo director es el normal del plano.

$(x,y,z)=(0,1,1)+t\,(1,1,0)=(t,\ 1+t,\ 1)$

$t+(1+t)=2 \Rightarrow t=\dfrac{1}{2}$

$Q\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2},1\right)$

Comprobamos que la distancia coincide con la del apartado anterior.

$d(P,Q)=\sqrt{\left(\tfrac{1}{2}\right)^2+\left(\tfrac{1}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$



$\textbf{c) (1 punto) Hallar el área del triángulo formado por } \boldsymbol{P}\textbf{ y los puntos de corte del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ con los ejes coordenados.}$

Buscamos los cortes del plano con cada eje anulando las otras dos coordenadas.

$y=z=0 \Rightarrow x=2 \Rightarrow A(2,0,0);\qquad x=z=0 \Rightarrow y=2 \Rightarrow B(0,2,0)$

Con el eje $OZ$ la ecuación quedaría $0=2$, imposible: el plano es paralelo a ese eje, porque su normal $(1,1,0)$ es perpendicular a $(0,0,1)$. Hay, pues, solo dos cortes, que con $P$ determinan el triángulo.

$\overrightarrow{PA}=(2,-1,-1),\qquad \overrightarrow{PB}=(0,1,-1)$

El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados.

$\overrightarrow{PA}\times\overrightarrow{PB}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & -1 & -1\\ 0 & 1 & -1\end{vmatrix}=(2,2,2)$

$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{PA}\times\overrightarrow{PB}\right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{12}=\sqrt{3}$

El área del triángulo es de $\sqrt{3}\approx 1{,}73$ unidades de superficie.