Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Pregunta 3.1. Dados la recta $r \equiv \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{0} = \dfrac{z-2}{1}$ y el plano $\pi: x + 2y - 3z = 1$, se pide:

a) (0,75 puntos) Hallar una ecuación del plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$.

b) (0,75 puntos) Hallar una ecuación de la recta contenida en $\pi$ que corta perpendicularmente a $r$.

c) (1 punto) Calcular los puntos de la recta $r$ cuya distancia al plano $\pi$ es $\sqrt{14}$.

De la ecuación continua de la recta leemos un punto y un vector director; el cero del denominador central no es una división por cero, sino que la segunda componente del director es nula. Del plano leemos su vector normal.

$A(1,0,2)\in r,\qquad \vec v_r=(2,0,1),\qquad \vec n_{\pi}=(1,2,-3)$

$\textbf{a) (0,75 puntos) Hallar una ecuación del plano que contiene a } \boldsymbol{r}\textbf{ y es perpendicular a } \boldsymbol{\pi}\textbf{.}$

Un plano que contenga a $r$ lleva la dirección $\vec v_r$; para ser perpendicular a $\pi$ debe llevar además la de $\vec n_{\pi}$. Su normal es entonces el producto vectorial de las dos.

$\vec n_{\sigma}=\vec v_r\times\vec n_{\pi}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & 0 & 1\\ 1 & 2 & -3\end{vmatrix}=(-2,7,4)$

Imponemos que pase por $A$ y cambiamos de signo para dejar positivo el primer coeficiente.

$-2(x-1)+7y+4(z-2)=0 \Rightarrow \sigma:\ 2x-7y-4z+6=0$

Se comprueba que $\vec n_{\sigma}\cdot\vec n_{\pi}=-2+14-12=0$, luego los dos planos son efectivamente perpendiculares.

$\textbf{b) (0,75 puntos) Hallar una ecuación de la recta contenida en } \boldsymbol{\pi}\textbf{ que corta perpendicularmente a } \boldsymbol{r}\textbf{.}$

Si la recta buscada está en $\pi$ y corta a $r$, el punto de corte tiene que ser el punto por el que $r$ atraviesa el plano. Lo hallamos sustituyendo la recta en paramétricas.

$r:\ (1+t\cdot 2,\ 0,\ 2+t)$

$(1+2t)+2\cdot 0-3(2+t)=1 \Rightarrow -5-t=1 \Rightarrow t=-6$

$P(-11,0,-4)$

Su vector director debe ser perpendicular a $\vec n_{\pi}$, para que la recta viva dentro del plano, y perpendicular a $\vec v_r$, para que el corte sea ortogonal. De nuevo lo da el producto vectorial.

$\vec v_s=\vec n_{\pi}\times\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 2 & -3\\ 2 & 0 & 1\end{vmatrix}=(2,-7,-4)$

$s\equiv\dfrac{x+11}{2}=\dfrac{y}{-7}=\dfrac{z+4}{-4}$



$\textbf{c) (1 punto) Calcular los puntos de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ cuya distancia al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ es } \boldsymbol{\sqrt{14}}\textbf{.}$

Tomamos un punto genérico de la recta, escribimos su distancia al plano en función del parámetro e igualamos al valor pedido.

$X(1+2t,\ 0,\ 2+t)$

$d(X,\pi)=\dfrac{|(1+2t)+0-3(2+t)-1|}{\sqrt{1^2+2^2+(-3)^2}}=\dfrac{|-6-t|}{\sqrt{14}}$

$\dfrac{|-6-t|}{\sqrt{14}}=\sqrt{14} \Rightarrow |-6-t|=14$

El valor absoluto abre dos casos, uno por cada lado del plano.

$-6-t=14 \Rightarrow t=-20;\qquad -6-t=-14 \Rightarrow t=8$

$t=-20 \Rightarrow X_1(-39,0,-18);\qquad t=8 \Rightarrow X_2(17,0,10)$

Los dos puntos de $r$ que distan $\sqrt{14}$ del plano son $(-39,0,-18)$ y $(17,0,10)$, situados uno a cada lado de $\pi$.