Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Pregunta 2. Un muro rectangular de la biblioteca pública del barrio se va a pintar con la ayuda de unos grafiteros. La dimensión del muro es de 3 metros de alto y 12 metros de largo. Colocando la esquina inferior izquierda del muro en el origen de coordenadas, se va a utilizar la curva $f(x) = \cos\left(\dfrac{\pi x}{9}\right) + 2$ para diferenciar dos regiones del muro que serán pintadas con dos colores distintos. Se sabe que con un bote de spray se pueden pintar 3 metros cuadrados de superficie.

a) (0,75 puntos) Halle el valor máximo y el valor mínimo de la función $f(x)$ en el intervalo $[0, 12]$. ¿Está la curva en este intervalo $[0,12]$ contenida completamente en el muro?

b) (1,25 puntos) Halle el área que tienen que pintar de cada color.

c) (0,5 puntos) ¿Cuántos botes de spray se tienen que comprar como mínimo para pintar toda el área bajo la curva $f(x)$?

$\textbf{a) (0,75 puntos) Halle el valor máximo y el valor mínimo de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el intervalo } \boldsymbol{[0,12]}\textbf{. ¿Está la curva en este intervalo contenida completamente en el muro?}$

La función es continua en el intervalo cerrado $[0,12]$, luego por el teorema de Weierstrass alcanza en él máximo y mínimo absolutos, que estarán en un punto crítico o en un extremo del intervalo.

$f'(x)=-\dfrac{\pi}{9}\operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi x}{9}\right)$

$f'(x)=0 \Rightarrow \operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi x}{9}\right)=0 \Rightarrow x=9k \Rightarrow x=9\ \text{en}\ (0,12)$

Evaluamos la función en el punto crítico y en los dos extremos.

$f(0)=\cos(0)+2=3$

$f(9)=\cos(\pi)+2=1$

$f(12)=\cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)+2=\dfrac{3}{2}$

El máximo absoluto vale 3 y se alcanza en $x=0$; el mínimo vale 1 y se alcanza en $x=9$. Como el muro ocupa la franja $0\leq y\leq 3$ y en todo el intervalo se cumple $1\leq f(x)\leq 3$, la curva no se sale del muro: solo lo toca por arriba en la esquina $(0,3)$.



$\textbf{b) (1,25 puntos) Halle el área que tienen que pintar de cada color.}$

La curva parte el rectángulo en dos regiones. Como $f(x)>0$ en todo el intervalo, el área de la de abajo es directamente la integral definida.

$\mathcal{A}_{\text{inf}}=\int_{0}^{12}\left[\cos\left(\dfrac{\pi x}{9}\right)+2\right]dx=\left[\dfrac{9}{\pi}\operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi x}{9}\right)+2x\right]_{0}^{12}$

$=\dfrac{9}{\pi}\operatorname{sen}\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)+24=24-\dfrac{9\sqrt{3}}{2\pi}=21{,}52\ \text{m}^2$

La de arriba es lo que le falta al rectángulo del muro, cuya área es base por altura.

$\mathcal{A}_{\text{sup}}=12\cdot 3-\mathcal{A}_{\text{inf}}=36-21{,}52=14{,}48\ \text{m}^2$

Hay que pintar unos $21{,}52\ \text{m}^2$ de un color y unos $14{,}48\ \text{m}^2$ del otro; la suma devuelve los $36\ \text{m}^2$ del muro.

$\textbf{c) (0,5 puntos) ¿Cuántos botes de spray se tienen que comprar como mínimo para pintar toda el área bajo la curva?}$

Dividimos el área inferior entre lo que cubre un bote.

$\dfrac{\mathcal{A}_{\text{inf}}}{3}=\dfrac{21{,}52}{3}=7{,}17$

Con 7 botes se cubrirían solo $21\ \text{m}^2$, insuficientes, y no se pueden comprar fracciones de bote, así que se redondea hacia arriba: hay que comprar 8 botes.