Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Pregunta 1.1. (2,5 puntos) En el baloncesto existen canastas que valen un punto, otras que valen dos y otras que valen tres puntos. Calcule el número de lanzamientos de uno, de dos y de tres puntos que realizó un equipo en un partido sabiendo que:

a) El equipo anotó $80$ puntos con un acierto del $80\%$ en tiros de uno, del $50\%$ en tiros de dos y del $40\%$ en tiros de tres.

b) La tercera parte del número de lanzamientos de dos fue igual a la quinta parte del resto de lanzamientos.

c) El doble del número de lanzamientos de tres es menor en cinco unidades al resto de lanzamientos.

$\textbf{Pregunta 1.1. (2,5 puntos) Calcule el número de lanzamientos de uno, de dos y de tres puntos que realizó un equipo en un partido.}$

Llamamos $x$ al número de lanzamientos de un punto, $y$ al de dos e $z$ al de tres, y traducimos a ecuaciones las tres condiciones del enunciado.

De los $x$ tiros de uno entra el 80 %, de los $y$ de dos el 50 % y de los $z$ de tres el 40 %; cada canasta suma su valor y el total es de 80 puntos.

$1\cdot 0{,}8x+2\cdot 0{,}5y+3\cdot 0{,}4z=80 \Rightarrow 4x+5y+6z=400$

En la segunda condición «el resto de lanzamientos» son los de uno y los de tres.

$\dfrac{y}{3}=\dfrac{x+z}{5} \Rightarrow 3x-5y+3z=0$

En la tercera, «el resto» son los de uno y los de dos.

$2z=(x+y)-5 \Rightarrow x+y-2z=5$

Queda un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

$\begin{cases}4x+5y+6z=400\\ 3x-5y+3z=0\\ x+y-2z=5\end{cases}$

Lo resolvemos por sustitución, despejando $x$ de la tercera ecuación.

$x=5-y+2z$

$3(5-y+2z)-5y+3z=0 \Rightarrow 15-8y+9z=0 \Rightarrow y=\dfrac{15+9z}{8}$

$4(5-y+2z)+5y+6z=400 \Rightarrow y+14z=380$

Sustituimos la expresión de $y$ en esta última igualdad.

$\dfrac{15+9z}{8}+14z=380 \Rightarrow 121z=3025 \Rightarrow z=25$

$y=\dfrac{15+9\cdot 25}{8}=30,\qquad x=5-30+50=25$

Comprobamos la primera condición, que es la que más operaciones lleva: entran $0{,}8\cdot 25=20$ tiros libres, $0{,}5\cdot 30=15$ dobles y $0{,}4\cdot 25=10$ triples, o sea $20+30+30=80$ puntos.

El equipo lanzó 25 tiros de un punto, 30 de dos y 25 de tres.