Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Ejercicio 5B (2,5 puntos)

Se consideran las curvas de ecuaciones $y=(x-1)^2$, $y=(x+1)^2$ e $y=7-3x$.

(a) (1,25 puntos) Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por esas tres curvas.

(b) (1,25 puntos) Calcula el área del recinto del apartado anterior.

$\textbf{(a) (1,25 puntos) Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por esas tres curvas.}$

Para dibujar el recinto identificamos primero cada curva y después los puntos en que se cortan dos a dos, que son los vértices de la región.

Las dos primeras son parábolas con las ramas hacia arriba, iguales salvo traslación: $y=(x-1)^2$ tiene el vértice en $(1,0)$ e $y=(x+1)^2$ lo tiene en $(-1,0)$. La tercera, $y=7-3x$, es una recta.

Cortamos las dos parábolas entre sí:

$(x-1)^2=(x+1)^2\Rightarrow -2x=2x\Rightarrow x=0\Rightarrow y=1$

Cortamos $y=(x+1)^2$ con la recta:

$(x+1)^2=7-3x\Rightarrow x^2+2x+1=7-3x\Rightarrow x^2+5x-6=0$

$(x+6)(x-1)=0\Rightarrow\begin{cases}x=-6\\x=1\end{cases}$

Se descarta $x=-6$ por no estar en el primer cuadrante. Para $x=1$ resulta $y=4$.

Cortamos $y=(x-1)^2$ con la recta:

$(x-1)^2=7-3x\Rightarrow x^2-2x+1=7-3x\Rightarrow x^2+x-6=0$

$(x+3)(x-2)=0\Rightarrow\begin{cases}x=-3\\x=2\end{cases}$

Se descarta $x=-3$ por la misma razón. Para $x=2$ resulta $y=1$.

Los tres vértices del recinto son, por tanto, $(0,1)$, $(1,4)$ y $(2,1)$. Evaluando en un punto intermedio se ve qué curva va por arriba en cada tramo:

$\text{Si }x=\dfrac12:\quad \left(\dfrac32\right)^2=\dfrac94\ >\ \left(-\dfrac12\right)^2=\dfrac14$

$\text{Si }x=\dfrac32:\quad 7-\dfrac92=\dfrac52\ >\ \left(\dfrac12\right)^2=\dfrac14$

El recinto está limitado por abajo por la parábola $y=(x-1)^2$ en todo su ancho, y por arriba por la parábola $y=(x+1)^2$ entre $x=0$ y $x=1$ y por la recta $y=7-3x$ entre $x=1$ y $x=2$.



$\textbf{(b) (1,25 puntos) Calcula el área del recinto del apartado anterior.}$

Como la curva que limita por arriba cambia en $x=1$, el área se calcula en dos trozos y se aplica en cada uno la regla de Barrow.

$\mathcal{A}=\int_0^1\left[(x+1)^2-(x-1)^2\right]dx+\int_1^2\left[(7-3x)-(x-1)^2\right]dx$

En el primer trozo la diferencia se simplifica mucho al desarrollar los cuadrados:

$(x+1)^2-(x-1)^2=\left(x^2+2x+1\right)-\left(x^2-2x+1\right)=4x$

$\int_0^1 4x\,dx=\left[2x^2\right]_0^1=2$

En el segundo:

$(7-3x)-\left(x^2-2x+1\right)=6-x-x^2$

$\int_1^2\left(6-x-x^2\right)dx=\left[6x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_1^2$

$=\left(12-2-\dfrac83\right)-\left(6-\dfrac12-\dfrac13\right)=\dfrac{22}{3}-\dfrac{31}{6}=\dfrac{13}{6}$

Sumando los dos trozos:

$\mathcal{A}=2+\dfrac{13}{6}=\dfrac{25}{6}$

El área del recinto es de $\dfrac{25}{6}$ unidades de área.