Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Ejercicio 5A (2,5 puntos)

Calcula las dos integrales siguientes:

(a) (1,25 puntos) $\int 2x\cos(2x+5)\,dx$.

(b) (1,25 puntos) $\int \dfrac{x+495}{x^2-2025}\,dx$.

$\textbf{(a) (1,25 puntos) Calcula } \boldsymbol{\int 2x\cos(2x+5)\,dx}\textbf{.}$

El integrando es el producto de un polinomio por una función trigonométrica, así que se resuelve por partes. Se elige como $u$ el polinomio, porque al derivarlo baja de grado y desaparece.

$\begin{cases} u=2x\Rightarrow du=2\,dx \\ dv=\cos(2x+5)\,dx\Rightarrow v=\dfrac12\sin(2x+5)\end{cases}$

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

$\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$

$\int 2x\cos(2x+5)\,dx=2x\cdot\dfrac12\sin(2x+5)-\int\dfrac12\sin(2x+5)\cdot2\,dx$

$=x\sin(2x+5)-\int\sin(2x+5)\,dx$

La integral que queda es inmediata:

$\int\sin(2x+5)\,dx=-\dfrac12\cos(2x+5)$

$\int 2x\cos(2x+5)\,dx=x\sin(2x+5)+\dfrac12\cos(2x+5)+C$

$\textbf{(b) (1,25 puntos) Calcula } \boldsymbol{\int \dfrac{x+495}{x^2-2025}\,dx}\textbf{.}$

Es el cociente de dos polinomios con el numerador de grado menor que el denominador, así que se descompone en fracciones simples. Factorizamos primero el denominador, que es una diferencia de cuadrados:

$x^2-2025=x^2-45^2=(x-45)(x+45)$

$\dfrac{x+495}{(x-45)(x+45)}=\dfrac{M}{x-45}+\dfrac{N}{x+45}$

Quitando denominadores:

$x+495=M(x+45)+N(x-45)$

Damos a $x$ los valores que anulan cada factor:

$x=45:\quad 540=90M\Rightarrow M=6$

$x=-45:\quad 450=-90N\Rightarrow N=-5$

La integral se convierte así en dos logaritmos inmediatos:

$\int\dfrac{x+495}{x^2-2025}\,dx=\int\dfrac{6}{x-45}\,dx-\int\dfrac{5}{x+45}\,dx$

$=6\ln|x-45|-5\ln|x+45|+C$