Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2025

Ejercicio 4B (2,5 puntos)

En la empresa “MARKOAK” fabrican marcos para cuadros. En esta ocasión les han solicitado marcos para 274 cuadros rectangulares. Todos los cuadros tienen las mismas dimensiones y una superficie de $0{,}3\text{m}^2$. Para cada marco van a emplear dos tipos de material: las partes horizontales serán de un material cuyo coste es de 12€/m y para las verticales utilizarán un material cuyo coste es de 10€/m. La empresa que ha realizado el pedido quiere pagar lo mínimo posible. Calcula:

(a) (2 puntos) cuáles deben ser las medidas de los cuadros para pagar el mínimo posible;

(b) (0,5 puntos) a cuánto ascenderá la factura.

$\textbf{(a) (2 puntos) Calcula cuáles deben ser las medidas de los cuadros para pagar el mínimo posible.}$

Llamamos $x$ a la medida horizontal del cuadro e $y$ a la vertical, ambas en metros. Cada marco lleva dos lados horizontales de longitud $x$ y dos verticales de longitud $y$, y cada pareja se paga a un precio distinto.

La superficie del cuadro es un dato fijo, y esa es la relación que permite dejar el coste en función de una sola variable:

$x\,y=0{,}3\Rightarrow y=\dfrac{0{,}3}{x}$

Escribimos el coste de un marco sumando lo que cuesta cada tipo de material:

$C=12\cdot(2x)+10\cdot(2y)=24x+20y$

$C(x)=24x+20\cdot\dfrac{0{,}3}{x}=24x+\dfrac{6}{x},\qquad x>0$

Derivamos e igualamos a cero para localizar los puntos críticos:

$C'(x)=24-\dfrac{6}{x^2}$

$C'(x)=0\Rightarrow 24=\dfrac{6}{x^2}\Rightarrow x^2=\dfrac{6}{24}=\dfrac14\Rightarrow x=\dfrac12$

Se descarta la solución negativa $x=-\dfrac12$ porque una longitud no puede ser negativa.

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un mínimo:

$C''(x)=\dfrac{12}{x^3}\Rightarrow C''\left(\dfrac12\right)=96>0$

Al ser positiva, en $x=\dfrac12$ hay un mínimo. La otra medida es:

$y=\dfrac{0{,}3}{0{,}5}=0{,}6\ \text{m}$

Para pagar lo mínimo posible los cuadros deben medir $0{,}5$ m en horizontal y $0{,}6$ m en vertical.



$\textbf{(b) (0,5 puntos) Calcula a cuánto ascenderá la factura.}$

Evaluamos la función de coste en la medida óptima para saber lo que vale un marco, y multiplicamos por el número de cuadros del pedido.

$C\left(\dfrac12\right)=24\cdot\dfrac12+\dfrac{6}{\frac12}=12+12=24\ \text{€/marco}$

$274\cdot24=6576\ \text{€}$

La factura ascenderá a $6576$ euros.