Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2025

Ejercicio 4A (2,5 puntos)

Se considera la función $f(x)=x^4+Ax^3+x^2+Bx$.

(a) (1 punto) Calcula los valores de los parámetros $A$ y $B$ para que las rectas tangentes a la gráfica de $f$ en los puntos de abscisa $x=0$ y $x=1$ sean horizontales.

(b) (1,5 puntos) Con los valores de $A$ y $B$ que has obtenido en el apartado anterior, estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$.

$\textbf{(a) (1 punto) Calcula los valores de los parámetros } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ para que las rectas tangentes a la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{ en los puntos de abscisa } \boldsymbol{x=0}\textbf{ y } \boldsymbol{x=1}\textbf{ sean horizontales.}$

Que la recta tangente en un punto sea horizontal significa que su pendiente es nula, y la pendiente de la tangente es el valor de la derivada. Imponemos, pues, que la derivada se anule en las dos abscisas dadas.

$f(x)=x^4+Ax^3+x^2+Bx$

$f'(x)=4x^3+3Ax^2+2x+B$

$f'(0)=0\Rightarrow B=0$

$f'(1)=0\Rightarrow 4+3A+2+B=0$

Sustituyendo el valor de $B$ ya obtenido:

$6+3A=0\Rightarrow A=-2$

Los parámetros pedidos son $A=-2$ y $B=0$, con lo que la función queda:

$f(x)=x^4-2x^3+x^2=x^2(x-1)^2$

$\textbf{(b) (1,5 puntos) Con los valores de } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ que has obtenido en el apartado anterior, estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de } \boldsymbol{f}\textbf{.}$

La función es polinómica, luego su dominio es todo $\mathbb{R}$ y es derivable en todos sus puntos. El crecimiento se estudia con el signo de la derivada, así que la factorizamos para localizar sus raíces.

$f'(x)=4x^3-6x^2+2x=2x\left(2x^2-3x+1\right)$

$2x^2-3x+1=0\Rightarrow x=\dfrac{3\pm\sqrt{9-8}}{4}=\dfrac{3\pm1}{4}\Rightarrow\begin{cases}x=1\\x=\frac12\end{cases}$

$f'(x)=2x(2x-1)(x-1)$

$f'(x)=0\Rightarrow \begin{cases}x=0\\x=\frac12\\x=1\end{cases}$

Estos tres puntos dividen la recta real en cuatro intervalos. Se hace un estudio de signos evaluando la derivada en un punto de cada uno:

$\begin{array}{c|cccc} & (-\infty,0) & \left(0,\frac12\right) & \left(\frac12,1\right) & (1,+\infty) \\ \hline f'(x) & - & + & - & + \\ f(x) & \searrow & \nearrow & \searrow & \nearrow \end{array}$

$\begin{cases}f'(-1)=-2\cdot(-3)\cdot(-2)=-12<0 \\ f'\left(\frac14\right)=\frac12\cdot\left(-\frac12\right)\cdot\left(-\frac34\right)=\frac{3}{16}>0 \\ f'\left(\frac34\right)=\frac32\cdot\frac12\cdot\left(-\frac14\right)=-\frac{3}{16}<0 \\ f'(2)=4\cdot3\cdot1=12>0\end{cases}$

La función es creciente en $\left(0,\dfrac12\right)\cup(1,+\infty)$ y decreciente en $(-\infty,0)\cup\left(\dfrac12,1\right)$.

De ese estudio se deduce además que hay mínimos relativos en $x=0$ y en $x=1$, donde la derivada pasa de negativa a positiva, y un máximo relativo en $x=\dfrac12$, donde pasa de positiva a negativa:

$f(0)=0,\qquad f\left(\dfrac12\right)=\dfrac{1}{16},\qquad f(1)=0$