Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Ejercicio 3A (2,5 puntos)

Se consideran las siguientes rectas:

$r_1\equiv\begin{cases} x+y-2z=0\\ 2x-3y+z=1\end{cases}\qquad\qquad r_2\equiv\begin{cases} x=3t\\ y=1-2t\\ z=2+t\end{cases}$

Calcula la ecuación del plano que contiene a $r_1$ y pasa por el punto de intersección del plano $\pi\equiv x-3y-2z+7=0$ y la recta $r_2$.

El plano pedido queda determinado por dos condiciones: contener a la recta $r_1$ y pasar por un punto que todavía hay que calcular. Procedemos en tres fases: i) hallamos ese punto, ii) sacamos un punto y el vector director de $r_1$, y iii) construimos el plano.

i) Calculamos el punto de intersección de $\pi$ con $r_2$. Sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en la del plano:

$3t-3(1-2t)-2(2+t)+7=0$

$3t-3+6t-4-2t+7=0\Rightarrow 7t=0\Rightarrow t=0$

$P=(3\cdot0,\;1-2\cdot0,\;2+0)=(0,1,2)$

ii) La recta $r_1$ viene dada como intersección de dos planos, de modo que su vector director es perpendicular a los dos vectores normales: lo obtenemos con su producto vectorial.

$\vec n_1=(1,1,-2),\qquad \vec n_2=(2,-3,1)$

$\vec v_{r_1}=\vec n_1\times\vec n_2=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&-2\\2&-3&1\end{vmatrix}=(-5,-5,-5)$

Como solo importa la dirección, tomamos el vector proporcional más sencillo:

$\vec v_{r_1}=(1,1,1)$

Para tener un punto de $r_1$ damos el valor $z=0$ y resolvemos el sistema que queda:

$\begin{cases}x+y=0\\2x-3y=1\end{cases}\Rightarrow x=-y\Rightarrow -5y=1\Rightarrow y=-\dfrac15,\ x=\dfrac15$

$Q\left(\dfrac15,-\dfrac15,0\right)\in r_1$

iii) El plano contiene la dirección de $r_1$ y el vector que une $Q$ con $P$, así que su vector normal es el producto vectorial de ambos.

$\overrightarrow{QP}=(0,1,2)-\left(\dfrac15,-\dfrac15,0\right)=\left(-\dfrac15,\dfrac65,2\right)$

$\vec n_\sigma=\vec v_{r_1}\times\overrightarrow{QP}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&1\\-\frac15&\frac65&2\end{vmatrix}=\left(\dfrac45,-\dfrac{11}{5},\dfrac75\right)$

Multiplicando por $5$ para quitar denominadores:

$\vec n_\sigma=(4,-11,7)$

$\sigma:4x-11y+7z+D=0$

Imponemos que pase por $P(0,1,2)$:

$4\cdot0-11\cdot1+7\cdot2+D=0\Rightarrow 3+D=0\Rightarrow D=-3$

Comprobamos que el punto $Q$ de la recta también lo verifica, lo que confirma que el plano contiene a $r_1$:

$4\cdot\dfrac15-11\cdot\left(-\dfrac15\right)+7\cdot0-3=\dfrac45+\dfrac{11}{5}-3=0$

El plano pedido es $\sigma\equiv 4x-11y+7z-3=0$.