Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Ejercicio 2A (2,5 puntos)

Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$\begin{cases} \alpha x-2y+z=\alpha\\ x-2y+\alpha z=\alpha\\ -2x+y+\alpha z=-2.\end{cases}$

(a) (1 punto) Encuentra los valores del parámetro $\alpha$ para los que el sistema tiene una única solución.

(b) (0,75 puntos) ¿Hay algún valor del parámetro $\alpha$ para el que el sistema no tiene solución? Razona tu respuesta.

(c) (0,75 puntos) ¿Hay algún valor del parámetro $\alpha$ para el que el sistema tiene más de una solución? Si la respuesta es afirmativa, calcula esos valores de $\alpha$ y, para cada uno de ellos, encuentra dos soluciones distintas del sistema.

$\textbf{(a) (1 punto) Encuentra los valores del parámetro } \boldsymbol{\alpha}\textbf{ para los que el sistema tiene una única solución.}$

Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas tiene solución única cuando es compatible determinado, y eso ocurre exactamente cuando el determinante de la matriz de coeficientes no se anula. Lo calculamos.

$A=\begin{pmatrix} \alpha & -2 & 1\\ 1 & -2 & \alpha\\ -2 & 1 & \alpha\end{pmatrix}$

Desarrollamos por la primera fila:

$|A|=\alpha\begin{vmatrix}-2&\alpha\\1&\alpha\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}1&\alpha\\-2&\alpha\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}1&-2\\-2&1\end{vmatrix}$

$=\alpha(-2\alpha-\alpha)+2(\alpha+2\alpha)+(1-4)$

$=-3\alpha^2+6\alpha-3=-3\left(\alpha^2-2\alpha+1\right)=-3(\alpha-1)^2$

$|A|=0\Leftrightarrow -3(\alpha-1)^2=0\Leftrightarrow \alpha=1$

El sistema tiene una única solución para todo $\alpha\neq1$.

$\textbf{(b) (0,75 puntos) ¿Hay algún valor del parámetro } \boldsymbol{\alpha}\textbf{ para el que el sistema no tiene solución? Razona tu respuesta.}$

El único valor que puede dar problemas es el que anula el determinante, es decir, $\alpha=1$; para cualquier otro el sistema es compatible determinado. Estudiamos entonces ese caso escalonando la matriz ampliada.

$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&-2&1&1\\1&-2&1&1\\-2&1&1&-2\end{array}\right)$

Las dos primeras ecuaciones son idénticas, de modo que una de ellas sobra. Haciendo $F_2-F_1$:

$\left(\begin{array}{ccc|c}1&-2&1&1\\0&0&0&0\\-2&1&1&-2\end{array}\right)$

$\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=2$

Como los dos rangos coinciden, por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible también para $\alpha=1$.

No hay ningún valor de $\alpha$ para el que el sistema carezca de solución: es compatible para todo valor del parámetro.

$\textbf{(c) (0,75 puntos) ¿Hay algún valor del parámetro } \boldsymbol{\alpha}\textbf{ para el que el sistema tiene más de una solución? Si la respuesta es afirmativa, calcula esos valores de } \boldsymbol{\alpha}\textbf{ y, para cada uno de ellos, encuentra dos soluciones distintas del sistema.}$

Sí: el único candidato es $\alpha=1$, y en el apartado anterior hemos visto que ahí el sistema es compatible con rango $2$, menor que el número de incógnitas, luego es compatible indeterminado con un grado de libertad.

$\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=2<3=\text{número de incógnitas}$

Nos quedamos con las dos ecuaciones independientes y tomamos $z$ como parámetro:

$\begin{cases} x-2y+z=1\\ -2x+y+z=-2\end{cases},\qquad z=\lambda$

De la primera, $x=1+2y-\lambda$. Sustituyendo en la segunda:

$-2(1+2y-\lambda)+y+\lambda=-2$

$-2-4y+2\lambda+y+\lambda=-2\Rightarrow -3y+3\lambda=0\Rightarrow y=\lambda$

$x=1+2\lambda-\lambda=1+\lambda$

$(x,y,z)=(1+\lambda,\;\lambda,\;\lambda),\quad \lambda\in\mathbb{R}$

Dando dos valores cualesquiera al parámetro obtenemos dos soluciones distintas:

$\lambda=0\Rightarrow(1,0,0);\qquad \lambda=1\Rightarrow(2,1,1)$

El sistema tiene más de una solución únicamente para $\alpha=1$, y dos de esas infinitas soluciones son $(1,0,0)$ y $(2,1,1)$.