Ejercicio resuelto de Trabajo · Física y Química I

Un tonel de 120 kg de masa está suspendido de una cuerda de 10 m de longitud. ¿Qué fuerza horizontal se necesita para mantener el tonel separado lateralmente 2 m de la vertical? ¿Cuánto trabajo se realiza para llevarlo a esa posición?

Dibujamos el diagrama de fuerzas que actúan sobre el tonel (ver figura): la tensión $\vec{T}$ de la cuerda, el peso $\vec{P}$ y la fuerza horizontal aplicada $\vec{F}$.



$\mathbf{\text{Fuerza}}\mathbf{\text{horizontal}}$

Como el tonel se mantiene en equilibrio, la suma de fuerzas es nula: $\sum \vec{F}=0$. Descomponiendo la tensión, con $\alpha$ el ángulo que forma la cuerda con la vertical, las ecuaciones de equilibrio son:

$\text{Eje X:}F-T\text{sen}\alpha =0\Rightarrow T\text{sen}\alpha =F$

$\text{Eje Y:}T\cos \alpha -P=0\Rightarrow T\cos \alpha =mg$

Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones se elimina la tensión:

${\displaystyle \frac{T\text{sen}\alpha }{T\cos \alpha }}={\displaystyle \frac{F}{mg}}\Rightarrow F=mg\cdot \tan \alpha$

$\mathbf{\text{Datos:}}$ $m=120\text{ kg}$, $\mathrm{\ell }=10\text{ m}$, $d=2\text{ m}$, $g=10{\text{m/s}}^2$.

El ángulo $\alpha$ se obtiene a partir del seno (la separación horizontal frente a la longitud de la cuerda):

$\text{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{d}{\mathrm{\ell }}}={\displaystyle \frac{2}{10}}=\mathrm{0,2}\Rightarrow \alpha ={\mathrm{11,54}}^{\circ }$

Sustituyendo:

$F=mg\cdot \tan \alpha =120\cdot 10\cdot \tan {\mathrm{11,54}}^{\circ }$

$\boxed{{\displaystyle F=\mathrm{244,95}\text{ N}}}$

$\mathbf{\text{Trabajo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{llevar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tonel}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$

Planteamos primero la ley: como el tonel se desplaza lentamente (sin variación de energía cinética), el trabajo que realiza el agente exterior para llevarlo a su nueva posición es igual al aumento de su energía potencial gravitatoria:

$W=\mathrm{\Delta }{E}_p=mg(h_2-h_1)=mgh$

La altura que asciende el tonel al separarse de la vertical es:

$h=\mathrm{\ell }-\mathrm{\ell }\cos \alpha =\mathrm{\ell }(1-\cos \alpha )$

con $\cos \alpha =\sqrt{1-{\text{sen}}^2\alpha }=\sqrt{1-{\mathrm{0,2}}^2}=\mathrm{0,9798}$:

$h=10\cdot (1-\mathrm{0,9798})=\mathrm{0,202}\text{ m}$

Por tanto:

$W=mgh=120\cdot 10\cdot \mathrm{0,202}$

$\boxed{{\displaystyle W=\mathrm{242,45}\text{ J}}}$

El trabajo es positivo porque hay que aportar energía para elevar el tonel y separarlo de su posición de equilibrio (la vertical, de mínima energía potencial).