Ejercicio resuelto de Trabajo · Física y Química I

Una central hidroeléctrica toma agua ($d=1\text{ g/mL}$) de una presa situada a 120 m por encima. El caudal que alimenta las turbinas es de $2{\text{m}}^3\mathrm{/}\text{s}$. Calcular:

a) Potencia desarrollada por el agua.

b) Energía eléctrica producida durante 1 día de funcionamiento, expresada en $\text{kW}\cdot \text{h}$, sabiendo que el rendimiento global es del $60\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Potencia}}\mathbf{\text{desarrollada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{agua}}$

La potencia relaciona el trabajo realizado por el agua en su caída con el tiempo empleado en ello:

$P={\displaystyle \frac{W}{t}}={\displaystyle \frac{\vec{F}\cdot \mathrm{\Delta }\vec{r}}{t}}={\displaystyle \frac{F\cdot \mathrm{\Delta }r\cdot \cos \alpha }{t}}$

La fuerza es el peso del agua y el desplazamiento es la altura de caída, de modo que el trabajo es $W=mgh$:

$P={\displaystyle \frac{mgh}{t}}$

Trabajamos con un intervalo de $t=1\text{ s}$. En ese tiempo cae un volumen $V=2{\text{m}}^3=2\cdot {10}^6\text{ mL}$, cuya masa es:

$d={\displaystyle \frac{m}{V}}\Rightarrow m=d\cdot V=1{\displaystyle \frac{\text{g}}{\text{mL}}}\cdot 2\cdot {10}^6\text{ mL}=2\cdot {10}^6\text{ g}=2000\text{ kg}$

Sustituyendo (con $g=10{\text{m/s}}^2$ y $h=120\text{ m}$):

$P={\displaystyle \frac{mgh}{t}}={\displaystyle \frac{2000\cdot 10\cdot 120}{1}}$

$\boxed{{\displaystyle P=\mathrm{2,4}\cdot {10}^6\text{ W}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{(rendimiento}}60\mathrm{\%}\mathbf{\text{)}}$

Si el rendimiento es del $60\mathrm{\%}$, la potencia efectiva de la central es:

$P^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{2,4}\cdot {10}^6=\mathrm{1,44}\cdot {10}^6\text{ W}$

La energía eléctrica producida en un día ($t=86400\text{ s}$):

$W=P^{\mathrm{\prime }}\cdot t=\mathrm{1,44}\cdot {10}^6\cdot 86400=\mathrm{1,24416}\cdot {10}^{11}\text{ J}$

Como $1\text{ kW}\cdot \text{h}=1000\text{ W}\cdot 3600\text{ s}=\mathrm{3,6}\cdot {10}^6\text{ J}$, convertimos:

$W=\mathrm{1,24416}\cdot {10}^{11}\text{ J}\cdot {\displaystyle \frac{1\text{ kW}\cdot \text{h}}{\mathrm{3,6}\cdot {10}^6\text{ J}}}$

$\boxed{{\displaystyle W=34560\text{ kW}\cdot \text{h}}}$