Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Región de Murcia · 2020

P2. El terremoto de Lorca de 2011 provocó, entre otras, ondas mecánicas transversales que se propagaban por la superficie y cuyo desplazamiento vertical se puede modelizar por $y=A\cos (\mathrm{4,2}x-\mathrm{12,6}t)$, donde $x$ es la distancia en kilómetros desde el epicentro y $t$ el tiempo en segundos.

a) Determinar la longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación de las ondas. (1 punto)

b) Los sismógrafos midieron una aceleración máxima de $\mathrm{0,2}g$, donde $g$ es la aceleración de la gravedad). Determinar el valor de la amplitud, $A$ en milímetros. (1 punto)

c) Además se produjeron otras ondas que viajaron por el interior de la Tierra y que podemos considerar esféricas. Si a $100\text{ km}$ del foco su intensidad es de $\mathrm{1,5}\cdot {10}^3{\text{W/m}}^2$, calcular la intensidad a $20\text{ km}$ de la fuente. (1 punto)

Comparamos la onda dada con la ecuación general de una onda armónica, $y=A\cos (kx-\omega t)$, e identificamos:

$k=\mathrm{4,2}\text{ rad/km}\omega =\mathrm{12,6}\text{ rad/s}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda,}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ondas.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La longitud de onda se obtiene del número de onda:

$\lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{4,2}}}=\mathrm{1,50}\text{ km}$

La frecuencia, de la pulsación:

$f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}={\displaystyle \frac{\mathrm{12,6}}{2\pi }}=\mathrm{2,0}\text{ Hz}$

Y la velocidad de propagación es el cociente de ambas:

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{12,6}}{\mathrm{4,2}}}=\mathrm{3,0}\text{ km/s}=\mathrm{3,0}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

Se comprueba de inmediato que $v=\lambda f=\mathrm{1,50}\cdot \mathrm{2,0}=\mathrm{3,0}\text{ km/s}$, valor típico de las ondas sísmicas superficiales.



Cada punto del terreno describe un movimiento armónico simple en dirección vertical, con aceleración $a=-{\omega }^{2}y$, cuyo valor máximo se alcanza en los extremos de la oscilación:

$a_{\max }={\omega }^{2}A$

Igualamos al dato del enunciado y despejamos la amplitud:

$A={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}g}{{\omega }^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{9,8}}{(\mathrm{12,6}{)}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,96}}{\mathrm{158,8}}}$

$A=\mathrm{1,23}\cdot {10}^{-2}\text{ m}=\mathrm{12,3}\text{ mm}$

La amplitud es de apenas $\mathrm{12,3}\text{ mm}$: poco más de un centímetro de desplazamiento vertical basta, con esa frecuencia, para producir aceleraciones de la quinta parte de la gravedad.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">100</mn><mtext> km</mtext></mrow>}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{foco}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">1,5</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\cdot </mo><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">3</mn></msup><mtext> </mtext><msup><mtext>W/m</mtext><mn\; mathvariant="bold">2</mn></msup></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">20</mn><mtext> km</mtext></mrow>}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuente.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










En una onda esférica que se propaga sin absorción la potencia se reparte sobre superficies esféricas, de modo que la intensidad decae con el cuadrado de la distancia:

$I={\displaystyle \frac{P}{4\pi r^2}}\Rightarrow I_1{r}_1^2=I_2{r}_2^2$





Despejamos la intensidad a la distancia menor:

$I_2=I_1{\left({\displaystyle \frac{r_1}{r_2}}\right)}^2=\mathrm{1,5}\cdot {10}^3{\left({\displaystyle \frac{100}{20}}\right)}^2=\mathrm{1,5}\cdot {10}^3\cdot 25$

$I_2=\mathrm{3,75}\cdot {10}^4{\text{W/m}}^2$

A $20\text{ km}$ del foco la intensidad es de $\mathrm{3,75}\cdot {10}^4{\text{W/m}}^2$, veinticinco veces mayor que a $100\text{ km}$. Es coherente: al acercarse cinco veces al foco la misma energía se reparte sobre una superficie veinticinco veces menor, y en eso consiste la devastación de un terremoto cerca del epicentro.