Ejercicio resuelto de Ecuaciones logarítmicas · Matemáticas I

Halla el valor de $x$:

$\log 8+(x^2-5x+7)\log 3=\log 24$

Resolvemos $\log 8+(x^2-5x+7)\log 3=\log 24$

Usamos las propiedades de los logaritmos:

$(x^2-5x+7)\log 3=\log \left(3^{x^2-5x+7}\right)$

$\log 8+\log \left(3^{x^2-5x+7}\right)=\log 24$

$\log (8\cdot 3^{x^2-5x+7})=\log 24$

Igualamos los argumentos:

$8\cdot 3^{x^2-5x+7}=24$

$3^{x^2-5x+7}=3$

Como las bases son iguales:

$x^2-5x+7=1$

$x^2-5x+6=0$

Factorizamos:

$x^2-5x+6=0\Rightarrow (x-3)(x-2)=0$

Por tanto, las soluciones candidatas son:

$\{\begin{array}{l}x-3=0\to x=3\\ x-2=0\to x=2\end{array}$

Comprobamos:

$\{\begin{array}{l}x=3\to \log 8+(3^2-5\cdot 3+7)\log 3=\log 24\\ x=2\to \log 8+(2^2-5\cdot 2+7)\log 3=\log 24\end{array}$

Valen las dos.

Por tanto:

$\{\begin{array}{l}{x}_1=3\\ x_2=2\end{array}$