Ejercicio resuelto de Problemas de Gauss · Matemáticas I

19) Un joyero tiene tres clases de monedas: A, B, C. Las monedas de tipo A tienen 2 gramos de oro, 4 gr de plata y 14 gr de cobre; las de tipo B tienen 6 gr de oro, 4 gr de plata y 10 gr de cobre y las de tipo C tienen 8 gr de oro, 6 gr de plata y 6 gr de cobre. ¿Cuántas monedas de cada tipo debe fundir para obtener 44 gr de oro, 44 gr de plata y 112 gr de cobre?

Sea:

$A=$ número de monedas de tipo A;
$B=$ número de monedas de tipo B;
$C=$ número de monedas de tipo C.

Planteamos el sistema:

$\{\begin{array}{l}2A+6B+8C=44\\ 4A+4B+6C=44\\ 14A+10B+6C=112\end{array}$

Simplificamos las ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}A+3B+4C=22\\ 2A+2B+3C=22\\ 7A+5B+3C=56\end{array}$

Matriz ampliada:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 4& 22\\ 2& 2& 3& 22\\ 7& 5& 3& 56\end{array}\right)$

Aplicamos Gauss:





Pasamos de nuevo a sistema:

$\{\begin{array}{l}A+3B+4C=22\\ -4B-5C=-22\\ -5C=-10\end{array}$

Resolvemos de abajo hacia arriba:

$-5C=-10\Rightarrow C=2$

$-4B-5C=-22\Rightarrow -4B-10=-22\Rightarrow B=3$

$A+3B+4C=22\Rightarrow A+9+8=22\Rightarrow A=5$

Por tanto:

$\{\begin{array}{l}A=5\\ B=3\\ C=2\end{array}$

Debe fundir 5 monedas de tipo A, 3 monedas de tipo B y 2 monedas de tipo C.